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三棱柱
中，侧棱与底面垂直，
，
，
分别是
，
的中点．
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求证：
平面
；
（Ⅲ）求三棱锥
的体积．
【解析】第一问利连结
，
，∵M,N是AB，
的中点∴MN//．
又∵
平面
，∴MN//平面．
----------4分
⑵中年∵三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∴四边形是正方形．∴
．∴
．连结
，
．
∴
，又N中的中点，∴
．
∵
与相交于点C，∴MN
平面
． --------------9分
⑶中由⑵知MN是三棱锥M-的高．在直角
中，
，
∴MN=
．又
．
．得到结论。
⑴连结，，∵M,N是AB，的中点∴MN//．
又∵平面，∴MN//平面． --------4分
⑵∵三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱与底面垂直，
∴四边形是正方形．∴．
∴．连结，．
∴，又N中的中点，∴．
∵与相交于点C，∴MN平面． --------------9分
⑶由⑵知MN是三棱锥M-的高．在直角中，，
∴MN=．又．
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（1）若第n区每平方米的重量为an千克，请写出an的表达式；
（2）第几区内的火山灰总重量最大？
（3）该火山这次喷发出的火山灰的总重量为多少万吨（π 取3，结果精确到万吨）？
（1）若第n区每平方米的重量为an千克，请写出an的表达式；
（2）第几区内的火山灰总重量最大？
（3）该火山这次喷发出的火山灰的总重量为多少万吨（π 取3，结果精确到万吨）？
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蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱锥形的底，由三个相同的菱形组成．组成底盘的菱形的钝角为109度28分，所有的锐角为70度32分，这样既坚固又省料．蜂房的巢壁厚0.073毫米，误差极小．
丹顶鹤总是成群结队迁飞，而且排成“人”字形．“人”字形的角度是110度．更精确地计算还表明“人”字形夹角的一半——即每边与鹤群前进方向的夹角为54度44分8秒！而金刚石结晶体的角度正好也是54度44分8秒！是巧合还是某种大自然的“默契”？
蜘蛛结的“八卦”形网，是既复杂又美丽的八角形几何图案，人们即使用直尺的圆规也很难画出像蜘蛛网那样匀称的图案．
冬天，猫睡觉时总是把身体抱成一个球形，这其间也有数学，因为球形使身体的表面积最小，从而散发的热量也最少．
真正的数学“天才”是珊瑚虫．珊瑚虫在自己的身上记下“日历”，它们每年在自己的体壁上“刻画”出365条斑纹，显然是一天“画”一条．奇怪的是，古生物学家发现3亿5千万年前的珊瑚虫每年“画”出400幅“水彩画”．天文学家告诉我们，当时地球一天仅21.9小时，一年不是365天，而是400天．
1．同学们，大自然中有许多有关数学的奥妙，许多现象有意无意地应用着数学，对于这些现象你有什么看法吗？请你谈谈你对大自然中的数学现象的认识．
2．把你发现的大自然中的数学问题告诉你的同学和老师，让他们也分享一下你认识大自然的乐趣．