摘要：例1 .求下列各数列前n项的和 ① ② 例2.在数列中..求S10和S99 例3.已知数列中..试求前2n项的和例4. 已知函数(). (1)求的反函数, (2)若..求, (3)若..-..-.求数列前n项和.

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（2009•卢湾区一模）在等差数列{a_n}中，公差为d，前n项和为S_n．在等比数列{b_n}中，公比为q，前n项和为S'_n（n∈N^*）．
（1）在等差数列{a_n}中，已知S₁₀=30，S₂₀=100，求S₃₀．
（2）在等差数列{a_n}中，根据要求完成下列表格，并对①、②式加以证明（其中m、m₁、m₂、n∈N^*）．

用S_m表示S_2m

用Sm1、Sm2表示Sm1+m2

用S_m表示S_nm

（3）在下列各题中，任选一题进行解答，不必证明，解答正确得到相应的分数（若选做二题或更多题，则只批阅其中分值最高的一题，其余各题的解答，不管正确与否，一律视为无效，不予批阅）：
（ⅰ）类比（2）中①式，在等比数列{b_n}中，写出相应的结论．
（ⅱ）（解答本题，最多得5分）类比（2）中②式，在等比数列{b_n}中，写出相应的结论．
（ⅲ）（解答本题，最多得6分）在等差数列{a_n}中，将（2）中的①推广到一般情况．
（ⅳ）（解答本题，最多得6分）在等比数列{b_n}中，将（2）中的①推广到一般情况．

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我们在下面的表格内填写数值，先将第1行的所有空格填上1，再把一个首项为1，公比为q的等比数列{a_n}依次填入第一列的空格内，然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其他空格．

	第1列	第2列	第3列	…	第n列
第1行	1	1	1	…	1
第2行	q
第3行	q²
…	…
第n行	q^n-1

（Ⅰ）设第2行的数依次为b₁，b₂，b₃，…，b_n，试用n、q表示b₁+b₂+b₃+…+b_n的值；
（Ⅱ）设第3列的数依次为c₁，c₂，c₃，…，c_n，求证：对于任意非零实数q，总有c_m-1+c_m+1＞2c_m成立（其中2≤m≤n-1且m为偶数）；
（Ⅲ）能否找到一个实数q的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？请说明理由．

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设单调递增函数的定义域为，且对任意的正实数x,y有：且．

⑴、一个各项均为正数的数列满足:其中为数列的前n项和,求数列的通项公式；

⑵、在⑴的条件下，是否存在正数M使下列不等式：

对一切成立？若存在，求出M的取值范围；若不存在，请说明理由．

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我们在下面的表格内填写数值，先将第1行的所有空格填上1，再把一个首项为1，公比为q的等比数列{a_n}依次填入第一列的空格内，然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其他空格．

	第1列	第2列	第3列	…	第n列
第1行	1	1	1	…	1
第2行	q
第3行	q²
…	…
第n行	q^n-1

（Ⅰ）设第2行的数依次为b₁，b₂，b₃，…，b_n，试用n、q表示b₁+b₂+b₃+…+b_n的值；
（Ⅱ）设第3列的数依次为c₁，c₂，c₃，…，c_n，求证：对于任意非零实数q，总有c_m-1+c_m+1＞2c_m成立（其中2≤m≤n-1且m为偶数）；
（Ⅲ）能否找到一个实数q的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？请说明理由．
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设集合W由满足下列两个条件的数列{a_n}构成：① $数学公式$ ；②存在实数M，使a_n≤M．（n为正整数）
（Ⅰ）在只有5项的有限数列{a_n}、{b_n}中，其中a₁=1，a₂=2，a₃=3，a₄=4，a₅=5；b₁=1，b₂=4，b₃=5，b₄=4，b₅=1；试判断数列{a_n}、{b_n}是否为集合W中的元素；
（Ⅱ）设{c_n}是各项为正数的等比数列，S_n是其前n项和， $数学公式$ ， $数学公式$ ，试证明{S_n}∈W，并写出M的取值范围；
（Ⅲ）设数列{d_n}∈W，对于满足条件的M的最小值M₀，都有d_n≠M₀（n∈N^*）．
求证：数列{d_n}单调递增．

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