题目内容

设单调递增函数的定义域为，且对任意的正实数x,y有：且．

⑴、一个各项均为正数的数列满足:其中为数列的前n项和,求数列的通项公式；

⑵、在⑴的条件下，是否存在正数M使下列不等式：

对一切成立？若存在，求出M的取值范围；若不存在，请说明理由．

（本小题主要考查数列、不等式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）

解：⑴、对任意的正数均有且．………2分

又

，　　…………………………4分

又是定义在上的单增函数，．

当时，，．，．

当时，，

．，为等差数列，，． …………………6分

⑵、假设存在满足条件，

即

对一切恒成立．　……………８分

令，  

，　……………10分

故，………………12分

，单调递增，，．

．　　……………………………14分

练习册系列答案
相关题目
定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M，都有f（x）≥M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的下界．已知函数f（x）=（x2-3x+3）•ex，其定义域为[-2，t]（t＞-2），设f（-2）=m，f（t）=n．
（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[-2，t]上为单调递增函数；
（2）试判断m，n的大小，并说明理由；并判断函数f（x）在定义域上是否为有界函数，请说明理由；
（3）求证：对于任意的t＞-2，总存在x0∈（-2，t）满足
f′(x0)
ex0
=
2
3
（t-1）2，并确定这样的x0的个数．
设定义在R上的函数f（x），对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y），且当x＞0时，恒有f（x）＞1，若f（1）=2．
（1）求f（0）；
（2）求证：x∈R时f（x）为单调递增函数．
已知函数f（x）=
x，x∈P
-x，x∈M
其中集合P，M是非空数集．设．f（P）={y|y=f（x），x∈P}，f（M）={y|y=f（x），x∈M}
（I）若 P=[l，3]，M=（-∞，-2]，求f（P）∪f（M）；
（II）若P∩M=φ，a函数f（x）是定义在R上的单调递增函数，求集合P，M
（III）判断命题“若P∪M≠R，则．f（P）∪f（M）≠R”的真假，并说明理由．
设f（x），g（x）分别是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f（x）•g（x）为单调递增函数，且g（-3）=0，则不等式f（x）•g（x）＜0的解集为（　　）
已知f1（x）=3|x-1|，f2（x）=a•3|x-2|，（x∈R，a＞0）．函数f（x）定义为：对每个给定的实数x，f(x)=
f1(x)    f1(x)≤f2(x) 
f2(x)    f1(x)＞f2(x) 

（1）若f（x）=f1（x）对所有实数x都成立，求a的取值范围；
（2）设t∈R，t＞0，且f（0）=f（t）．设函数f（x）在区间[0，t]上的单调递增区间的长度之和为d（闭区间[m，n]的长度定义为n-m），求
d
t
；
（3）设g（x）=x2-2bx+3．当a=2时，若对任意m∈R，存在n∈[1，2]，使得f（m）≥g（n），求实数b的取值范围．

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