（2013•崇明县二模）某省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f（x）与时刻x（时） 的关系为f（x）=|

x

x2+1

-a|+2a+

2

3

，x∈[0，24]，其中a是与气象有关的参数，且a∈[0，

1

2

]．
（1）令t=

x

x2+1

，x∈[0，24]，写出该函数的单调区间，并选择其中一种情形进行证明；
（2）若用每天f（x）的最大值作为当天的综合放射性污染指数，并记作M（a），求M（a）；
（3）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数M（a）是否超标？

（2013•东莞二模）已知函数g(x)=

1

3

ax3+2x2-2x，函数f（x）是函数g（x）的导函数．
（1）若a=1，求g（x）的单调减区间；
（2）若对任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，都有f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

，求实数a的取值范围；
（3）在第（2）问求出的实数a的范围内，若存在一个与a有关的负数M，使得对任意x∈[M，0]时|f（x）|≤4恒成立，求M的最小值及相应的a值．

某市环境研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数f（x）与时间x（小时）的关系为f(x)=|

1

2

sin(

π

32

x)+

1

3

-a|+2a，x∈[0，24]，其中a为与气象有关的参数，且a∈[0，

3

4

]．若用每天f（x）的最大值作为当天的综合污染指数，并记作M（a）．
（Ⅰ）令t=

1

2

sin(

π

32

x)，x∈[0，24]，求t的取值范围；
（Ⅱ）求函数M（a）；
（Ⅲ）为加强对环境污染的整治，市政府规定每天的综合环境污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合污染指数是多少？是否超标？

对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数．在实数轴（箭头向右）上[x]是在点x左侧的第一个整数点，当x是整数时[x]就是x．这个函数[x]叫做“取整函数”也叫高斯（Gauss）函数．
从[x]的定义可得下列性质：x-1＜[x]≤x＜[x+1]．
与[x]有关的另一个函数是{x}，它的定义是{x}=x-[x]，{x}称为x的“小数部分”．
（1）根据上文，求{x}的取值范围和[-5，2]的值；
（2）求[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂1024]的和．