题目内容

（2013•崇明县二模）某省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f（x）与时刻x（时） 的关系为f（x）=|
x
x2+1
-a|+2a+
2
3
，x∈[0，24]，其中a是与气象有关的参数，且a∈[0，
1
2
]．
（1）令t=
x
x2+1
，x∈[0，24]，写出该函数的单调区间，并选择其中一种情形进行证明；
（2）若用每天f（x）的最大值作为当天的综合放射性污染指数，并记作M（a），求M（a）；
（3）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数M（a）是否超标？
分析：（1）单调递增区间为[0，1]；单调递减区间为[1，24]，利用单调性的定义可以证明；
（2）先确定t的取值范围是[0，
1
2
]，再进行分类讨论，从而可得M（a）的解析式；
（3）利用分段函数，可得当
1
4
＜a≤
4
9
时不超标，从而可得结论．
解答：解：（1）单调递增区间为[0，1]；单调递减区间为[1，24]．
证明：任取0≤x1＜x2≤1，t（x1）-t（x2）=
(x1-x2)(1-x1x2)
(1+x12)(1+x22)
，
∵0≤x1＜x2≤1，∴x1-x2＜0，1-x1x2＞0，∴
(x1-x2)(1-x1x2)
(1+x12)(1+x22)
＜0，∴t（x1）-t（x2）＜0．
所以函数t（x）在[0，1]上为增函数．（同理可证在区间[1，24]单调递减）
（2）由函数的单调性知tmax（x）=t（1）=
1
2
，tmin（x）=t（0）=0，
∴t=
x
x2+1
=
1
x+
1
x
∈[0，
1
2
]，∴t的取值范围是[0，
1
2
]．
当a∈[0，
1
2
]时，由于f（x）=|
x
x2+1
-a|+2a+
2
3
，则可记g（t）=|t-a|+2a+
2
3

则g（t）=
-t+3a+
2
3
，0≤t≤a
t+a+
2
3
，a＜t≤
1
2

∵g（t）在[0，a]上单调递减，在（a，
1
2
]上单调递增，
且g（0）=3a+
2
3
．g（
1
2
）=a+
7
6

∴g（0）-g（
1
2
）=2（a-
1
4
）．
故M（a）=
a+
7
6
，0≤a≤
1
4
3a+
2
3
，
1
4
＜a≤
1
2
．
（3）当0≤a≤
1
4
时，a+
7
6
≤2，∴a≤
5
6
，不满足题意a∈[0，
1
2
]；
当
1
4
＜a≤
1
2
时，3a+
2
3
≤2，∴a≤
4
9
，∴
1
4
＜a≤
4
9
时，满足题意a∈[0，
1
2
]．
故当
1
4
＜a≤
4
9
时不超标，当0≤a≤
1
4
时超标．
点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用、考查求函数解析式及分类讨论的思想，属于实际应用题．
练习册系列答案
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20
20
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2
2
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AB
•
CD
=
-1
-1
．

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