Question

某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数f（x）与时间x（小时）的关系为f(x)=|

x

x2+1

+

1

3

-a|+2a，x∈[{0，24}]，其中a与气象有关的参数，且a∈[0，

3

4

]，若用每天f（x）的最大值为当天的综合污染指数，并记作M（a）．
（1）令t=

x

x2+1

，x∈[0，24]，求t的取值范围；
（2）求函数M（a）；
（3）市政府规定，每天的综合污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合污染指数是多少？是否超标？

Answer 1

分析：（1）先对所给函数式的分子分母同除以x，再利用基本不等式求t的取值范围即可；
（2）令g(x)=|t+

1

3

-a|+2a，t∈[0，

1

2

]．下面分类讨论：当a-

1

3

＜

1

4

，当a-

1

3

≥

1

4

，分别求出函数g（x）的最大值即得；
（3）利用（2）得出的函数分析知，当a∈[0，

7

12

)时，M（a）是增函数；当a∈[

7

12

，

3

4

]时，M（a）是增函数，从而求得它的最大值即可解决问题．

解答：解：（1）∵t=

x

x2+1

，x∈[0，24]，x=0时，t=0.0＜x≤24时，
t=

1

x+ 1 x

，x+

1

x

≥2，∴0＜t≤

1

2

．∴t∈[0，

1

2

]．（4分）
（2）令g(x)=|t+

1

3

-a|+2a，t∈[0，

1

2

]．
当a-

1

3

＜

1

4

，即0≤a＜

7

12

时，[g(x)]max=g(

1

2

)=|

5

6

-a|+2a=a+

5

6

；
当a-

1

3

≥

1

4

，即

7

12

≤a≤

3

4

时，[g(x)]max=g(0)=|

1

3

-a|+2a=3a-

1

3

．
所以M(a)=

a+ 5 6 ，0≤a＜ 7 12 3a- 1 3 ， 7 12 ≤a≤ 3 4

（10分）
（3）当a∈[0，

7

12

)时，M（a）是增函数，M(a)＜M(

7

12

)=

17

12

＜2；
当a∈[

7

12

，

3

4

]时，M（a）是增函数，M(a)≤M(

3

4

)=

23

12

＜2．
综上所述，市中心污染指数是

23

12

，没有超标．（15分）

点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用、待定系数法求函数解析式及分类讨论的思想，属于实际应用题．