已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点(1 ， 

3

2

)在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作方向向量

d

=(2 ， 1)的直线l交椭圆C于A、B两点，求证：|PA|²+|PB|²为定值．

（2012•大丰市一模）如图所示，已知平面直角坐标系xOy，抛物线y=-x²+bx+c过点A（4，0）、B（1，3）．
（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P（m，n）在第四象限，点P关于直线l的对称点为E，点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值．

已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

3

，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆C₁的短半轴长为半径的圆相切．
（I）求椭圆C₁的方程；
（II）直线l₁过椭圆C₁的左焦点F₁，且与x轴垂直，动直线l₂垂直于直线l₂，垂足为点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；
（III）设C₂上的两个不同点R、S满足

OR

•

RS

=0，求|

OS

|的取值范围（O为坐标原点）．

（2012•肇庆一模）已知圆C与两圆x²+（y+4）²=1，x²+（y-2）²=1外切，圆C的圆心轨迹方程为L，设L上的点与点M（x，y）的距离的最小值为m，点F（0，1）与点M（x，y）的距离为n．
（Ⅰ）求圆C的圆心轨迹L的方程；
（Ⅱ）求满足条件m=n的点M的轨迹Q的方程；
（Ⅲ）试探究轨迹Q上是否存在点B（x₁，y₁），使得过点B的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于

1

2

．若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．