Question

（2012•肇庆一模）已知圆C与两圆x²+（y+4）²=1，x²+（y-2）²=1外切，圆C的圆心轨迹方程为L，设L上的点与点M（x，y）的距离的最小值为m，点F（0，1）与点M（x，y）的距离为n．
（Ⅰ）求圆C的圆心轨迹L的方程；
（Ⅱ）求满足条件m=n的点M的轨迹Q的方程；
（Ⅲ）试探究轨迹Q上是否存在点B（x₁，y₁），使得过点B的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于

1

2

．若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）确定两圆心分别为C₁（0，-4）、C₂（0，2），由题意得CC₁=CC₂，从而可求圆心C的轨迹是线段C₁C₂的垂直平分线方程；
（Ⅱ）因为m=n，所以M（x，y）到直线y=-1的距离与到点F（0，1）的距离相等，故点M的轨迹Q是以y=-1为准线，点F（0，1）为焦点，顶点在原点的抛物线，从而可得轨迹Q的方程；
（Ⅲ）设出切线方程，求出切线与两坐标轴围成的三角形的面积，利用S=

1

2

，即可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）两圆半径都为1，两圆心分别为C₁（0，-4）、C₂（0，2），
由题意得CC₁=CC₂，可知圆心C的轨迹是线段C₁C₂的垂直平分线，C₁C₂的中点为（0，-1），直线C₁C₂的斜率等于零，故圆心C的轨迹是线段C₁C₂的垂直平分线方程为y=-1，即圆C的圆心轨迹L的方程为y=-1．  （4分）
（Ⅱ）因为m=n，所以M（x，y）到直线y=-1的距离与到点F（0，1）的距离相等，
故点M的轨迹Q是以y=-1为准线，点F（0，1）为焦点，顶点在原点的抛物线，
∴

p

2

=1，即p=2，所以，轨迹Q的方程是x²=4y；                 （8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得y=

1

4

x2，y′=

1

2

x，所以过点B的切线的斜率为k=

1

2

x1，
设切线方程为y-y1=

1

2

x1(x-x1)，
令x=0得y=-

1

2

x12+y1，令y=0得x=-

2y1

x1

+x1，
因为点B在x²=4y上，所以y1=

1

4

x12，
所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S=

1

2

|

1

4

x12||

1

2

x1|=

1

16

|x13|
设S=

1

2

，即

1

16

|x13|=

1

2

得|x₁|=2，所以x₁=±2
当x₁=2时，y₁=1，当x₁=-2时，y₁=1，所以点B的坐标为（2，1）或（-2，1）．（14分）

点评：本题考查轨迹方程，考查抛物线的定义，考查切线方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．