Question

如图，过点P（2，

2

）作x轴的平行线交y轴于点A，交双曲线y=

k

x

（x＞0）于点N，作PM⊥AN交双曲线y=

k

x

（x＞0）于点M，连接AM．已知PN=4．
（1）求k的值；
（2）设直线MN解析式为y=ax+b，求不等式

k

x

≥ax+b的解集；
（3）试判断△AMN的形状？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由点P的坐标为（2，

2

）得AP=2，又PN=4可得AN=6，即点N的坐标为（6，

2

），把N（6，

2

）代入y=

k

x

中，得k=6

2

．
（2）点P的坐标为（2，

2

）得点M的横坐标为2，又点N的坐标为（6，

2

），再根据图象可得0＜x≤2或x≥6．
（3）由点M的坐标为（2，3

2

）和点P的坐标为（2，

2

）得PM=2

2

．又PM⊥AN，AP=2，PN=4可得AM²+MN²=AN²，故△AMN是直角三角形．

解答：解：（1）∵点P的坐标为（2，

2

），
∴AP=2，OA=

2

．（1分）
∵PN=4，∴AN=6，
∴点N的坐标为（6，

2

）．（2分）
把N（6，

2

）代入y=

k

x

中，得k=6

2

．（3分）

（2）∵点P的坐标为（2，

2

），
∴点M的横坐标为2，
又∵点N的坐标为（6，

2

），
∴0＜x≤2或x≥6．（5分）

（3）∵点M的横坐标为2，双曲线为y=

6 2

x

，
∴点M的坐标为（2，3

2

），
∴PM=2

2

．（6分）
∵PM⊥AN，AP=2，PN=4，
∴AM²=12，MN²=24，AN²=36，（7分）
∴AM²+MN²=AN²，
∴∠AMN=90°，即△AMN是直角三角形．（8分）

点评：本题考查反比例函数和一次函数解析式的确定、图形的面积求法、直角三角形的判定等知识及综合应用知识、解决问题的能力．此题难度较大．