已知椭圆的离心率为，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C₁的短半轴长为半径的圆O相切。

（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；

（Ⅱ）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁，且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直于l₁，垂足为点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；

（Ⅲ）设C₂与x轴交于点Q，不同的两点R、S在C₂上，且 满足，求的取值范围。

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．

（I）求椭圆的方程；

（II）若过点（2，0）的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当＜ 时，求实数的取值范围．

【解析】本试题主要考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的运用。

第一问中，利用

第二问中，利用直线与椭圆联系，可知得到一元二次方程中，可得k的范围，然后利用向量的＜不等式，表示得到t的范围。

解：（1）由题意知

已知椭圆的离心率为以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切。

   （I）求椭圆C的方程；

   （II）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴交于定点Q；

 （III）在（II）条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求的取值范围。

已知椭圆的离心率为以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切。

   （I）求椭圆C的方程；

   （II）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴交于定点Q；

 （III）在（II）条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求的取值范围。

    已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线与椭圆C相交于A、B两点。

    （1）求椭圆C的方程；

    （2）求的取值范围；

    （3）若B点在于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点。