已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，且an+2=(1+2|cos

nπ

2

|)an+|sin

nπ

2

|，n∈N*，
（1）求a_2k-1（k∈N^*）；
（2）数列{y_n}，{b_n}满足y=a_2n-1，b₁=y₁，且当n≥2时bn

=y

2 n

(

1

y 2 1

+

1

y 2 2

+…+

1

y 2 n-1

)．证明当n≥2时，

bn+1

(n+1)

-

bn

n2

=

1

n2

；
（3）在（2）的条件下，试比较(1+

1

b1

)•(1+

1

b2

)•(1+

1

b3

)+…+(1+

1

bn

)与4的大小关系．

如图所示的集合体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的．A，A′，B，B′分别为

CD

，

C′D′

，

DE

，

D′E′

的中点，O1，

O

′ 1

，O2，

O

′ 2

分别为CD，C′D′，DE，D′E′的中点．
（1）证明：

O

′ 1

，A′，O2，B四点共面；
（2）设G为A A′中点，延长A′

O

′ 1

到H′，使得

O

′ 1

H′=A′

O

′ 1

．证明：B

O

′ 2

⊥平面H′B′G′．

已知定义在实数集R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时，f(x)=

2x

4x+1

．
（1）证明f（x）在（0，1）上为减函数；
（2）求函数f（x）在[-1，1]上的解析式；
（3）当λ取何值时，方程f（x）=λ在R上有实数解．

已知点B_n（n，y_n），…（n∈N₊）是某直线l上的点，以B_n为圆心作圆．所作的圆与x轴交于A_n和A_n+1两点，记A_n、A_n+1的横坐标分别为x_n、x_n+1．其中x₁=a（0＜a≤1）
（1）证明：x_n+2-x_n是常数，并求数列{x_n}的通项公式；
（2）若l的方程为y=

1

4

x+

1

12

，试问在△AnBnAn+1(n∈N+)中是否存在直角三角形，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．