Question

设数列{a_n}是由正数组成的等比数列，公比为q，S_n是其前n项和．
（1）证明

Sn•Sn+2

＜Sn+1；
（2）设bn=

4

15

an+3+

4

5

an+1+

2

5

an，记数列{b_n}的前n项和为T_n，试比较q²S_n和T_n的大小．

Answer 1

分析：（1）由题设知当q=1时，S_n•S_n+2-S_n+1²=na₁•（n+2）a₁-（n+1）²a₁²=-a₁²＜0；当q≠1时，S_n•S_n+2-S_n+1²=

a 2 1 (1-qn)(1-qn+2)

(1-q)2

-

a 2 1 (1-qn+1)2

(1-q)2

=-a₁²qⁿ＜0．由此可知S_n•S_n+2-S_n+1²＜0．所以

Sn•Sn+2

＜Sn+1．
（2）方法一：由题意知T_n=

n

k=1

bk=

n

k=1

(

4

15

akq3+

4

5

akq+

2

5

ak)=

4

15

q3Sn+

4

5

qSn+

2

5

Sn，T_n-q²S_n=

Sn

15

(4q(q-2)2+(q-2)2+2)≥2，所以T_n＞q²S．
方法二：由题意知T_n=

n

k=1

bk=

n

k=1

(

4

15

akq3+

4

5

akq+

2

5

ak)=

4

15

q3Sn+

4

5

qSn+

2

5

Sn，再由

Tn

q2Sn

=

4

15

q+

4

5q

+

2

5

，利用均值不等式可知T_n＞q²S．

解答：证明：（1）由题设知a₁＞0，q＞0．（1分）
（i）当q=1时，S_n=na₁，
于是S_n•S_n+2-S_n+1²=na₁•（n+2）a₁-（n+1）²a₁²=-a₁²＜0，（3分）
（ii）当q≠1时，Sn=

a1(1-qn)

1-q

，
于是S_n•S_n+2-S_n+1²=

a 2 1 (1-qn)(1-qn+2)

(1-q)2

-

a 2 1 (1-qn+1)2

(1-q)2

=-a₁²qⁿ＜0．（7分）
由（i）和（ii），得S_n•S_n+2-S_n+1²＜0．
所以S_n•S_n+2＜S_n+1²，

Sn•Sn+2

＜Sn+1．（8分）
（2）方法一：bn=

4

15

an+3+

4

5

an+1+

2

5

an=

4

15

anq3+

4

5

anq+

2

5

an，（11分）
T_n=

n

k=1

bk=

n

k=1

(

4

15

akq3+

4

5

akq+

2

5

ak)=

4

15

q3Sn+

4

5

qSn+

2

5

Sn，
T_n-q²S_n=

Sn

15

(4q3-15q2+12q+6)，（13分）
=

Sn

15

(4q(q-2)2+(q-2)2+2)≥2＞0，（15分）
所以T_n＞q²S．（16分）
方法二：T_n=

n

k=1

bk=

n

k=1

(

4

15

akq3+

4

5

akq+

2

5

ak)=

4

15

q3Sn+

4

5

qSn+

2

5

Sn，（11分）
由

Tn

q2Sn

=

4

15

q+

4

5q

+

2

5

，（13分）
因为q＞0，所以

4

15

q+

4

5q

≥2

4 15 • 4 5

=

8

15

3

（当且仅当

4

15

q=

4

5q

，即q=

3

时取“=”号），
因为

8

15

3

+

2

5

=

6+8 3

15

＞1，
所以

Tn

q2Sn

＞1，即T_n＞q²S．（16分）

点评：本题考查数列的性质和综合应用，难度较大，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理选用．