摘要：导数的概念 在学习到数的概念之前.我们先来讨论一下物理学中变速直线运动的瞬时速度的问题.例:设一质点沿x轴运动时.其位置x是时间t的函数..求质点在t0的瞬时速度?我们知道时间从t0有增量△t时.质点的位置有增量 .这就是质点在时间段△t的位移.因此.在此段时间内质点的平均速度为:.若质点是匀速运动的则这就是在t0的瞬时速度.若质点是非匀速直线运动.则这还不是质点在t0时的瞬时速度.我们认为当时间段△t无限地接近于0时.此平均速度会无限地接近于质点t0时的瞬时速度.即:质点在t0时的瞬时速度=为此就产生了导数的定义.如下: 导数的定义:设函数在点x0的某一邻域内有定义.当自变量x在x0处有增量△x时.相应地函数有增量.若△y与△x之比当△x→0时极限存在.则称这个极限值为在x0处的导数.记为:还可记为:. 函数在点x0处存在导数简称函数在点x0处可导.否则不可导.若函数在区间(a,b)内每一点都可导.就称函数在区间(a,b)内可导.这时函数对于区间(a,b)内的每一个确定的x值.都对应着一个确定的导数.这就构成一个新的函数.我们就称这个函数为原来函数的导函数. 注:导数也就是差商的极限 左.右导数 前面我们有了左.右极限的概念.导数是差商的极限.因此我们可以给出左.右导数的概念.若极限存在.我们就称它为函数在x=x0处的左导数.若极限存在.我们就称它为函数在x=x0处的右导数. 注:函数在x0处的左右导数存在且相等是函数在x0处的可导的充分必要条件 函数的和.差求导法则 函数的和差求导法则 法则:两个可导函数的和(差)的导数等于这两个函数的导数的和(差).用公式可写为:.其中u.v为可导函数. 例题:已知.求 解答: 例题:已知.求 解答: 函数的积商求导法则 常数与函数的积的求导法则 法则:在求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时.常数因子可以提到求导记号外面去.用公式可写成: 例题:已知.求 解答: 函数的积的求导法则 法则:两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数乘第二个因子.加上第一个因子乘第二个因子的导数.用公式可写成: 例题:已知.求 解答: 注:若是三个函数相乘.则先把其中的两个看成一项. 函数的商的求导法则 法则:两个可导函数之商的导数等于分子的导数与分母导数乘积减去分母导数与分子导数的乘积.在除以分母导数的平方.用公式可写成: 例题:已知.求 解答: 复合函数的求导法则 在学习此法则之前我们先来看一个例子! 例题:求=? 解答:由于.故 这个解答正确吗? 这个解答是错误的.正确的解答应该如下: 我们发生错误的原因是是对自变量x求导.而不是对2x求导. 下面我们给出复合函数的求导法则 复合函数的求导规则 规则:两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数.用公式表示为: .其中u为中间变量 例题:已知.求 解答:设,则可分解为,因此 注:在以后解题中.我们可以中间步骤省去. 例题:已知.求 解答: 反函数求导法则 根据反函数的定义.函数为单调连续函数.则它的反函数,它也是单调连续的.为此我们可给出反函数的求导法则.如下: 定理:若是单调连续的.且.则它的反函数在点x可导.且有: 注:通过此定理我们可以发现:反函数的导数等于原函数导数的倒数.注:这里的反函数是以y为自变量的.我们没有对它作记号变换. 即: 是对y求导.是对x求导 例题:求的导数. 解答:此函数的反函数为.故则: 例题:求的导数. 解答:此函数的反函数为.故则: 高阶导数 我们知道.在物理学上变速直线运动的速度v对时间t的导数.即: .而加速度a又是速度v对时间t的变化率.即速度v对时间t的导数: .或.这种导数的导数叫做s对t的二阶导数.下面我们给出它的数学定义: 定义:函数的导数仍然是x的函数.我们把的导数叫做函数的二阶导数.记作或.即:或.相应地.把的导数叫做函数的一阶导数.类似地.二阶导数的导数.叫做三阶导数.三阶导数的导数.叫做四阶导数.-.一般地(n-1)阶导数的导数叫做n阶导数. 分别记作:..-.或..-. 二阶及二阶以上的导数统称高阶导数.由此可见.求高阶导数就是多次接连地求导.所以.在求高阶导数时可运用前面所学的求导方法. 例题:已知.求 解答:因为=a.故=0 例题:求对数函数的n阶导数. 解答:.... 一般地.可得 隐函数及其求导法则 我们知道用解析法表示函数.可以有不同的形式.若函数y可以用含自变量x的算式表示.像y=sinx.y=1+3x等.这样的函数叫显函数.前面我们所遇到的函数大多都是显函数. 一般地.如果方程F(x,y)=0中.令x在某一区间内任取一值时.相应地总有满足此方程的y值存在.则我们就说方程F(x,y)=0在该区间上确定了x的隐函数y.把一个隐函数化成显函数的形式.叫做隐函数的显化.注:有些隐函数并不是很容易化为显函数的.那么在求其导数时该如何呢?下面让我们来解决这个问题! 隐函数的求导 若已知F(x,y)=0.求时.一般按下列步骤进行求解: a):若方程F(x,y)=0.能化为的形式.则用前面我们所学的方法进行求导, b):若方程F(x,y)=0.不能化为的形式.则是方程两边对x进行求导.并把y看成x的函数.用复合函数求导法则进行. 例题:已知.求 解答:此方程不易显化.故运用隐函数求导法.两边对x进行求导. ..故= 注:我们对隐函数两边对x进行求导时.一定要把变量y看成x的函数.然后对其利用复合函数求导法则进行求导. 例题:求隐函数.在x=0处的导数 解答:两边对x求导.故.当x=0时.y=0.故. 有些函数在求导数时.若对其直接求导有时很不方便.像对某些幂函数进行求导时.有没有一种比较直观的方法呢?下面我们再来学习一种求导的方法:对数求导法 对数求导法 对数求导的法则:根据隐函数求导的方法.对某一函数先取函数的自然对数.然后在求导.注:此方法特别适用于幂函数的求导问题. 例题:已知x＞0.求 此题若对其直接求导比较麻烦.我们可以先对其两边取自然对数.然后再把它看成隐函数进行求导.就比较简便些.如下 解答:先两边取对数: .把其看成隐函数.再两边求导 因为.所以 例题:已知.求 此题可用复合函数求导法则进行求导.但是比较麻烦.下面我们利用对数求导法进行求导 解答:先两边取对数再两边求导因为.所以 函数的微分 学习函数的微分之前.我们先来分析一个具体问题:一块正方形金属薄片受温度变化的影响时.其边长由x0变到了x0+△x.则此薄片的面积改变了多少? 解答:设此薄片的边长为x.面积为A.则A是x的函数: 薄片受温度变化的影响面积的改变量.可以看成是当自变量x从x0取的增量△x时.函数A相应的增量△A.即:.从上式我们可以看出.△A分成两部分.第一部分是△x的线性函数.即下图中红色部分,第二部分即图中的黑色部分.当△x→0时.它是△x的高阶无穷小.表示为: 由此我们可以发现.如果边长变化的很小时.面积的改变量可以近似的用地一部分来代替.下面我们给出微分的数学定义: 函数微分的定义:设函数在某区间内有定义.x0及x0+△x在这区间内.若函数的增量可表示为.其中A是不依赖于△x的常数.是△x的高阶无穷小.则称函数在点x0可微的.叫做函数在点x0相应于自变量增量△x的微分.记作dy.即:=. 通过上面的学习我们知道:微分是自变量改变量△x的线性函数.dy与△y的差是关于△x的高阶无穷小量.我们把dy称作△y的线性主部.于是我们又得出:当△x→0时.△y≈dy.导数的记号为: .现在我们可以发现.它不仅表示导数的记号.而且还可以表示两个微分的比值(把△x看成dx,即:定义自变量的增量等于自变量的微分).还可表示为: 由此我们得出:若函数在某区间上可导.则它在此区间上一定可微.反之亦成立. 微分形式不变性 什么是微分形式不边形呢? 设.则复合函数的微分为: . 由于.故我们可以把复合函数的微分写成 由此可见.不论u是自变量还是中间变量.的微分dy总可以用与du的乘积来表示. 我们把这一性质称为微分形式不变性. 例题:已知.求dy 解答:把2x+1看成中间变量u.根据微分形式不变性.则 通过上面的学习.我们知道微分与导数有着不可分割的联系.前面我们知道基本初等函数的导数公式和导数 的运算法则.那么基本初等函数的微分公式和微分运算法则是怎样的呢? 下面我们来学习---基本初等函数的微分公式与微分的运算法则 基本初等函数的微分公式与微分的运算法则 基本初等函数的微分公式 由于函数微分的表达式为:.于是我们通过基本初等函数导数的公式可得出基本初等函数微分的公式.下面我们用表格来把基本初等函数的导数公式与微分公式对比一下: 导数公式 微分公式 微分运算法则 由函数和.差.积.商的求导法则.可推出相应的微分法则.为了便于理解.下面我们用表格来把微分的运算法则与导数的运算法则对照一下: 函数和.差.积.商的求导法则 函数和.差.积.商的微分法则 复合函数的微分法则就是前面我们学到的微分形式不变性.在此不再详述. 例题:设.求对x3的导数 解答:根据微分形式的不变性 微分的应用 微分是表示函数增量的线性主部.计算函数的增量.有时比较困难.但计算微分则比较简单.为此我们用函数的微分来近似的代替函数的增量.这就是微分在近似计算中的应用. 例题:求的近似值. 解答:我们发现用计算的方法特别麻烦.为此把转化为求微分的问题 故其近似值为1.025

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