摘要：5．已知函数.方程的一个根是6. (1)若直线与函数和的图象的交点分别为.试求当取何值时.线段的长度取得最大值, (2)函数的图象在点处的切线为.在点处的切线为.若.与轴的交点分别为.试求两点之间的距离的取值范围. 例6．已知函数. (1)函数的单调区间, (2)求函数图象在与轴交点得的切线与两坐标轴所围成的图形的面积, (3)判断方程解的情况(). ［剖析］求函数的单调区间一般可以利用函数的导数来解决.即转化解不等式和,不等式的解集即为函数的单调区间.但首先要研究函数的定义域,求曲线在某一点的切线可以利用导数的几何意义,要研究方程根的个数问题.则可以通过函数图象与轴交点的数来分析.要画出函数大致图象.应函数的单调性.函数的极值及函数经过的特殊点等多个方面来考查. ［解］(1),因为函数的定义域为,令,解得:;令,解得且,所以函数的单调递增区间是,单调递减区间是. (2)与轴的交点设为,则,由于,切线的斜率为.切线方程为. 令,得,令,得. 所以所围三角形的面积为. (3)方程等价于,在平面直角坐标系中画出函数的图象,如右图所示: 所以当时,方程有2个根;当时,方程有1个根;当时,方程没有根;当时,方程有1个根. ［警示］在近年的高考试题中.导数越来越成为一个考查热点.由于导数本身具有强大的工具作用.导数的单调性.极值.最值的研究.曲线切线问题的解决.不等式的证明.恒成立问题以方程根的讨论等问题中都具有着重要的作.以导数为载体的综合题已经成为了高考命题的风向标.利用导数不仅能够判断函数的单调性,研究函数的极值与最值情况,而且还能在此基础上画出函数的大致图象,得到函数图象与轴交点的或两个函数的交点的条件,从而为研究方程的根及函数的零点提供方便,所以在解决方程的根的问题中,要善于运用导数的方法进行求解. ［变式训练］

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