摘要：5．已知抛物线.过其上一点引抛物线的切线.使与两坐标轴在第一象限围成的三角形面积最小.求切线的方程. 例6．已知抛物线或.如果直线同时是和的切线.则称是和的公切线.公切线上两个切点之间的线段.称为公切线段. (1)取什么值时和有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程, (2)若和有两条公切线.证明相应的两条公切线段互相平分. ［剖析］分别求曲线和的切线方程.由于和有且仅有一条公切线.从而列出方程组.求解的取值.进行得到公切线方程,而对于证明相应的两条公切线段互相平分的问题.只需要证明这两条切线的中点是同一点即可. ［解］(1)函数的导数是.曲线在点处的切线方程为:.即 ① 函数的导数是.曲线在点处的切线方程为: .即 ② 如果直线是过点和的公切线.则①②都是直线的方程.从而有 消去得方程.由.得. 此时.即点和重合.故当时.和有且仅有一条公切线.此公切线方程为. 知.当时.和有两条公切线.设其中的一条公切线在和上的切点分别为. 则 即公切线段的中点是 同理可证.另一条公切线段的中点也是.所以公切线段和相互平分. ［警示］可以利用导数求曲线的切线方程.由于函数在处的导数表示曲线在点处切线的斜率.因此.曲线在点处的切线方程.可按如下方式求得: 第一.求出函数在处的导数.即曲线在点处切线的斜率, 第二.在已知切点坐标和切线斜率的条件下.求得切线方程, 如果曲线在点的切线平行于轴时.由切线的定义可知.切线的方程为. ［变式训练］

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