Question

已知抛物线y=-x²+2过其上一点P引抛物线的切线l，l与坐标轴在第一象限围成△AOB，求△AOB面积S的最小值，并求此时切线l的方程．

Answer 1

分析：设切点P（x₀，-x₀²+2）（x₀＞0），由y=-x²+2得y'=-2x，知k_l=-2x₀，故l的方程为：y-（-x₀²+2）=-2x₀（x-x₀）．令y=0，得x=

x 2 0 +2

2x0

，令x=0，得y=x₀²+2，三角形的面积为S=

1

2

•

x 2 0 +2

2x0

(

x

2 0

+2)，由此能求出l的方程．

解答：解：设切点P（x₀，-x₀²+2）（x₀＞0）
由y=-x²+2得y'=-2x，
∴k_l=-2x₀，
∴l的方程为：y-（-x₀²+2）=-2x₀（x-x₀）…（3分）
令y=0，得x=

x 2 0 +2

2x0

，令x=0，得y=x₀²+2，
三角形的面积为S=

1

2

•

x 2 0 +2

2x0

(

x

2 0

+2)，x₀＞0…（6分）
令S′=

(3 x 2 0 -2)( x 2 0 +2)

4 x 2 0

=0⇒x0=

6

3

(x0＞0)…（8分）
当0＜x0＜

6

3

时，S′＜0； 
当x0＞

6

3

时，S′＞0
∴x0=

6

3

时，
Smin=

1

2

•

( 6 3 ) 2   +2

2• 6 3

((

6

3

)

2

+2)=

8 6

9

，…（10分）
此时kl=-

2 6

3

，
切点(

6

3

，

4

3

)，
故l的方程为2

6

x+3y-8=0．…（12分）

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．