(本题满分16分）

已知正四棱柱底面边长，侧棱的长为4，过点作的垂线交侧棱于点，交线段于点．以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,如图．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值的大小．

（文）已知函数f（x）=x³+ax²+bx+2与直线4x-y+5=0切于点P（-1，1）．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若x＞0时，不等式f（x）≥mx²-2x+2恒成立，求实数m的取值范围．

（理） 已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁底面边长AB=2，侧棱BB₁的长为4，过点B作B₁C的垂线交侧棱CC₁于点E，交线段B₁C于点F．以D为原点，DA、DC、DD₁所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，如图．
（Ⅰ）求证：A₁C⊥平面BED；
（Ⅱ）求A₁B与平面BDE所成角的正弦值的大小．

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.

（Ⅰ）证明PC⊥AD；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

（Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长.

【解析】解法一：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), ,P（0,0,2）.

（1）证明：易得，于是,所以

(2) ,设平面PCD的法向量，

则,即.不防设，可得.可取平面PAC的法向量于是从而.

所以二面角A-PC-D的正弦值为.

（3）设点E的坐标为（0,0，h），其中，由此得.

由，故 

所以，，解得，即.

解法二：（1）证明：由，可得，又由,,故.又,所以.

(2)如图，作于点H，连接DH.由,,可得.

因此,从而为二面角A-PC-D的平面角.在中，,由此得由（1）知,故在中，

因此所以二面角的正弦值为.

（3）如图，因为，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF. 故或其补角为异面直线BE与CD所成的角.由于BF∥CD，故.在中，故

在中，由,,

可得.由余弦定理，,

所以.