（2013•虹口区二模）定义域为D的函数f（x），如果对于区间I内（I⊆D）的任意两个数x₁、x₂都有f(

x1+x2

2

)≥

1

2

[f(x1)+f(x2)]成立，则称此函数在区间I上是“凸函数”．
（1）判断函数f（x）=lgx在R⁺上是否是“凸函数”，并证明你的结论；
（2）如果函数f(x)=x2+

a

x

在

1，2

上是“凸函数”，求实数a的取值范围；
（3）对于区间

c，d

上的“凸函数”f（x），在

c，d

上任取x₁，x₂，x₃，…，x_n．
①证明：当n=2^k（k∈N^*）时，f(

x1+x2+…+xn

n

)≥

1

n

[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]成立；
②请再选一个与①不同的且大于1的整数n，
证明：f(

x1+x2+…+xn

n

)≥

1

n

[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]也成立．

 如图，给定两个长度为1的平面向量

OA

和

OB

，它们的夹角为

2π

3

，点C是以O为圆心的圆弧

AB

上的一个动点，且

OC

=x

OA

+y

OB

（x，y∈

.

R-

）
（Ⅰ）设∠AOC=θ，写出x，y关于θ的函数解析式并求定义域；
（Ⅱ）求x+y的取值范围．

（2007•普陀区一模）现有问题：“对任意x＞0，不等式x-a+

1

x+a

＞0恒成立，求实数a的取值范围．”有两位同学用数形结合的方法分别提出了自己的解题思路和答案：
学生甲：在一个坐标系内作出函数f(x)=

1

x+a

和g（x）=-x+a的大致图象，随着a的变化，要求f（x）的图象再y轴右侧的部分恒在g（x）的上方．可解得a的取值范围是[0，+∞]
学生乙：在坐标平面内作出函数f(x)=x+a+

1

x+a

的大致图象，随着a的变化，要求f（x）的图象再y轴右侧的部分恒在直线y=2a的上方．可解得a的取值范围是[0，1]．
则以下对上述两位同学的解题方法和结论的判断都正确的是（　　）

已知函数f(x)=x³-2x²+bx+a,g(x)=ln(1+2x)+x
（1）求f(x) 的单调区间
（2）若f(x) 与g(x) 有交点，且在交点处的切线均为直线y=3x ，求a,b 的值并证明：在公共定义域内恒有f(x) ≥g(x)
（3）设A(x₁,g(x₁)),B(x₂,g(x₂)) ，C （t,g(t)) 是y=g(x) 图象上任意三点，且<x₁<t<x₂, 求证：割线AC 的斜率大于割线BC 的斜率；