Question

已知函数f(x)=x³-2x²+bx+a,g(x)=ln(1+2x)+x
（1）求f(x) 的单调区间
（2）若f(x) 与g(x) 有交点，且在交点处的切线均为直线y=3x ，求a,b 的值并证明：在公共定义域内恒有f(x) ≥g(x)
（3）设A(x₁,g(x₁)),B(x₂,g(x₂)) ，C （t,g(t)) 是y=g(x) 图象上任意三点，且<x₁<t<x₂, 求证：割线AC 的斜率大于割线BC 的斜率；

Answer 1

解：（1）f′(x)=8x²-4x+b,△=16-32b
①当△≤0即b≥时，f′(x)≥0在R上恒成立，∴f(x)在（-∞，+∞）上单调递增；
②当△>0即b<时，由f′(x)=0得
若f′(x)>0,则
若f′(x)>0,则
∴f(x)的单调增区间为：；f(x) 的单调减区间为：
综上所述：当b≥时，f(x)在（-∞，+∞）上单调递增；当b<时, f(x)的单调增区间为：；f(x) 的单调减区间为：     
(2)
令g′(x)=3得：x=0  
∴切点为（0，0）
∴f(0)=0 
∴a=0
f′(x)=8x²-4x+b|_x=0=b=3  
∴a=0,b=3        
令φ（x)=f(x)-g(x)   则φ'（x)=f'(x)-g'(x)=
∴φ（x)在（-，0）上单调递减，在（0，+∞）单调递增，
所以φ（x)≥φ（0)=f(0)-g(0)=0
∴φ（x) ≥0   即：f(x)≥g(x)            
(3)K_AC=,K_BC=
令φ(t)=(1+2t)(g(t)-g(x₁))-(3+2t)(t-x₁)  
则φ′(t)=2 (g(t)-g(x₁))+ (1+2t)g′(t)-2(t-x₁) -(3+2t)= 2 (g(t)-g(x₁)) -2(t-x₁) =2(ln(1+2t)-ln(1+2x₁))
∵y=ln(1+2x)在（-，+∞）上单调递增，且t>x₁,
∴ln(1+2t)-ln(1+2x₁)>0  
∴φ′(t) >0
∴φ(t)在(x₁,t)上单调递增  
∴φ(t)> φ(x₁)=0  
∴(1+2t)(f(t)-f(x₁))-(3+2t)(t-x₁)>0
∴(1+2t)(f(t)-f(x₁)) >(3+2t)(t-x₁)  
∵t-x₁>0,1+2t>0  
即K_AC
同理可证：K_BC
∴K_AC>K_BC