已知数列{a_n}，a₁=1，且满足关系a_n-a_n-1=2（n≥2），
（1）写出a₂，a₃，a₄，的值，并猜想{a_n}的一个通项公式．
（2）利用数学归纳法证明你的结论．

已知数列{a_n}，a₁=1，且满足关系a_n-a_n-1=2（n≥2），
（1）写出a₂，a₃，a₄，的值，并猜想{a_n}的一个通项公式．
（2）利用数学归纳法证明你的结论．

对于数列{A_n}：A₁，A₂，A₃，…，A_n，若不改变A₁，仅改变A₂，A₃，…，A_n中部分项的符号，得到的新数列{a_n}称为数列{A_n}的一个生成数列．如仅改变数列1，2，3，4，5的第二、三项的符号可以得到一个生成数列1，-2，-3，4，5．已知数列{a_n}为数列{

1

2n

}(n∈N*)的生成数列，S_n为数列{a_n}的前n项和．
（1）写出S₃的所有可能值；
（2）若生成数列{a_n}的通项公式为an=

1 2n ，n=3k+1 - 1 2n ，n≠3k+1

，k∈N，求S_n；
（3）用数学归纳法证明：对于给定的n∈N^*，S_n的所有可能值组成的集合为：{x|x=

2m-1

2n

，m∈N*，m≤2n-1}．