Question

已知数列{a_n}，a₁=1，且满足关系a_n-a_n-1=2（n≥2），
（1）写出a₂，a₃，a₄，的值，并猜想{a_n}的一个通项公式．
（2）利用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

（1）∵a₁=1，a_n-a_n-1=2（n≥2），
∴a₂=2+a₁=3，同理可求得a₃=5，a₄=7，故可猜想得到a_n=2n-1．        …（4分）
（2）证明：①当n=1时，结论显然成立；          …（6分）
②设当n=k（k≥2）时，结论成立，即a_k=2k-1，
则当n=k+1时，a_k+1-a_k=2，…（8分）
所以a_k+1=a_k+2=2k-1+2=2（k+1）-1，也满足公式．  …（10分）
综①②知，命题a_n=2n-1对任意的正整数n恒成立．  …（12分）