摘要：13．已知函数f(x)对任意的实数x.y都有f(x+y)＝f(x)+f(y)+2y(x+y)+1.且f(1)＝1. (1)若x∈N?.试求f(x)的表达式, (2)若x∈N?且x≥2时.不等式f(x)≥(a+7)x-(a+10)恒成立.求实数a的取值范围． 解:(1)令y＝1.则f(x+1)＝f(x)+f(1)+2(x+1)+1.∴f(x+1)-f(x)＝2x+4. ∴当x∈N?时.有f(2)-f(1)＝2×1+4.f(3)-f(2)＝2×2+4.f(4)-f(3)＝2×3+4.-.f(x)-f(x-1)＝2(x-1)+4, 将上面各式相加得:f(x)＝x2+3x-3(x∈N?)． (2)∵当x∈N?且x≥2时.f(x)＝x2+3x-3. ∴不等式f(x)≥(a+7)x-(a+10)恒成立. 即为当x∈N?.且x≥2时不等式x2+3x-3≥(a+7)x-(a+10)恒成立.即x2-4x+7≥a(x-1)恒成立． ∵x≥2.∴≥a恒成立． 又＝(x-1)+-2≥2(当且仅当x-1＝即x＝3时取“＝ )． ∴的最小值是2.故a≤2.

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