Question

已知函数f(x)对任意实数x、y都有f(xy)＝f(x)·f(y)，且f(－1)＝1，f(27)＝9，当0≤x＜1时，0≤f(x)＜1．

(1)判断f(x)的奇偶性；

(2)判断f(x)在[0，＋∞)上的单调性，并给出证明；

(3)若a≥0，且f(a＋1)≤，求实数a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

分析：因为xn·yn＝(x·y)n，又f(27)＝9，可以猜想f(x)的原型是幂函数y＝x，进而可猜想f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数． 　　解：(1)令y＝－1，则f(－x)＝f(x)·f(－1)． 　　因为f(－1)＝1，所以f(－x)＝f(x)， 　　所以f(x)为偶函数． 　　(2)函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数． 　　证明如下： 　　若x≥0，则f(x)＝f(·)＝f()·f()＝[f()]2≥0． 　　设0≤x1＜x2，则0≤＜1， 　　且f(x1)＝f＝f·f(x2)． 　　因为当0≤x＜1时，0≤f(x)＜1， 　　所以0≤f＜1， 　　所以f(x1)＜f(x2)． 　　故函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数． 　　(3)因为f(27)＝9， 　　又f(3×9)＝f(3)·f(9)＝f(3)·f(3)·f(3)＝[f(3)]3， 　　所以9＝[f(3)]3， 　　所以f(3)＝． 　　因为f(a＋1)≤， 　　所以f(a＋1)≤f(3)． 　　又因为3≥0，a＋1≥0，且函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数， 　　所以a＋1≤3，即a≤2， 　　又a≥0，故0≤a≤2． 　　点评：合理地运用条件赋予抽象函数的性质，借助于函数的单调性，巧妙地去掉函数符号，从而将抽象函数问题转化为具体函数问题，在这个过程中要注意问题的等价转化．同时，适当地赋值也是研究抽象函数的常用方法，在解题中必须予以重视． 　　总之，解决抽象函数问题，可以将它与学过的具体函数联系起来，寻求函数的原型．适当地赋值也是得到一些基础结论的好方法．只要我们在学习中不断总结，富于联想，抽象函数问题就不那么抽象了．