摘要：题型1:求轨迹方程 例1．(1)一动圆与圆外切.同时与圆内切.求动圆圆心的轨迹方程.并说明它是什么样的曲线. (2)双曲线有动点.是曲线的两个焦点.求的重心的轨迹方程. 解析:设动圆圆心为.半径为.设已知圆的圆心分别为.. 将圆方程分别配方得:.. 当与相切时.有 ① 当与相切时.有 ② 将①②两式的两边分别相加.得. 即 ③ 移项再两边分别平方得: ④ 两边再平方得:. 整理得. 所以.动圆圆心的轨迹方程是.轨迹是椭圆. 由解法一可得方程. 由以上方程知.动圆圆心到点和的距离和是常数.所以点的轨迹是焦点为..长轴长等于的椭圆.并且椭圆的中心在坐标原点.焦点在轴上. ∴..∴.. ∴. ∴圆心轨迹方程为. (2)如图.设点坐标各为.∴在已知双曲线方程中.∴ ∴已知双曲线两焦点为. ∵存在.∴ 由三角形重心坐标公式有.即 . ∵.∴. 已知点在双曲线上.将上面结果代入已知曲线方程.有 即所求重心的轨迹方程为:. 点评:定义法求轨迹方程的一般方法.步骤,“转移法 求轨迹方程的方法. 例2．设P为双曲线y2＝1上一动点.O为坐标原点.M为线段OP的中点.则点M的轨迹方程是 . 解析:(1)答案:x2-4y2＝1 设P(x0.y0) ∴M(x.y) ∴ ∴2x＝x0.2y＝y0 ∴-4y2＝1x2-4y2＝1 点评:利用中间变量法是求轨迹问题的重要方法之一. 题型2:圆锥曲线中最值和范围问题 例3．(1)设AB是过椭圆中心的弦.椭圆的左焦点为.则△F1AB的面积最大为( ) A. B. C. D. (2)已知双曲线的左右焦点分别为F1.F2.点P在双曲线的右支上.且.则此双曲线的离心率的最大值是( ) A. B. C. 2 D. .P是椭圆上一点.则|PA|+|PB|的最大值为( ) A. 10 B. C. D. 解析:(1)如图.由椭圆对称性知道O为AB的中点.则△F1OB的面积为△F1AB面积的一半.又.△F1OB边OF1上的高为.而的最大值是b.所以△F1OB的面积最大值为.所以△F1AB的面积最大值为cb. 点评:抓住△F1AB中为定值.以及椭圆是中心对称图形. (2)解析:由双曲线的定义. 得:. 又.所以.从而 由双曲线的第二定义可得. 所以.又.从而.故选B. 点评:“点P在双曲线的右支上 是衔接两个定义的关键.也是不等关系成立的条件.利用这个结论得出关于a.c的不等式.从而得出e的取值范围. 在椭圆内.B是椭圆的左焦点.则右焦点为F(4.0).连PB.PF.由椭圆的定义知: . 所以. 由平面几何知识. .即. 而. 所以. 点评:由△PAF成立的条件.再延伸到特殊情形P.A.F共线.从而得出这一关键结论. 例4．设P是椭圆短轴的一个端点.为椭圆上的一个动点.求的最大值. (2)已知在平面直角坐标系中的一个椭圆.它的中心在原点.左焦点为,右顶点为,设点. ①求该椭圆的标准方程, ②若是椭圆上的动点.求线段中点的轨迹方程, ③过原点的直线交椭圆于点.求面积的最大值. 已知椭圆的中心在坐标原点O.焦点在x轴上.椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形.两准线间的距离为l. (Ⅰ)求椭圆的方程, (Ⅱ)直线过点P(0,2)且与椭圆相交于A.B两点.当ΔAOB面积取得最大值时.求直线l的方程. 解析:.Q(x,y),则 |PQ|=.又因为Q在椭圆上. 所以.x2=a2(1-y2). |PQ|2= a2(1-y2)+y2-2y+1=(1-a2)y2-2y+1+a2. =(1-a2)(y- )2-+1+a2 . 因为|y|≤1,a>1, 若a≥, 则||≤1, 当y=时, |PQ|取最大值. 若1<a<,则当y=-1时, |PQ|取最大值2. (2)①由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1. 又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为. ②设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0). 由 x= 得 x0=2x-1 y= y0=2y- 由,点P在椭圆上,得. ∴线段PA中点M的轨迹方程是. ③当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1. 当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入, 解得B(,),C(-,-). 则,又点A到直线BC的距离d=. ∴△ABC的面积S△ABC=. 于是S△ABC=. 由≥-1,得S△ABC≤,其中,当k=-时,等号成立. ∴S△ABC的最大值是. (3)解:设椭圆方程为 (Ⅰ)由已知得∴所求椭圆方程为. (Ⅱ)解法一:由题意知直线的斜率存在.设直线的方程为 由.消去y得关于x的方程:. 由直线与椭圆相交于A.B两点..解得. 又由韦达定理得. . 原点到直线的距离. . 解法1:对两边平方整理得: (*). ∵..整理得:. 又. .从而的最大值为. 此时代入方程(*)得 .. 所以.所求直线方程为:. 解法2:令.则. 当且仅当即时..此时. 所以.所求直线方程为 解法二:由题意知直线l的斜率存在且不为零. 设直线l的方程为. 则直线l与x轴的交点. 由解法一知且. 解法1: = . 下同解法一. 解法2:. 下同解法一. 点评:文科06年高考主要考察了圆锥曲线的最值问题.主要是三角形的面积.弦长问题.处理韦达定理以及判别式问题啊是解题的关键. 题型3:证明问题和对称问题 例5．如图.椭圆＝1B(0,1)的直线有且只有一个公共点T.且椭圆的离心率e=. (Ⅰ)求椭圆方程, (Ⅱ)设F.F分别为椭圆的左.右焦点.M为线段AF的中点.求证:∠ATM=∠AFT. 设分别为椭圆的左.右顶点.椭圆长半轴的长等于焦距.且为它的右准线. (Ⅰ).求椭圆的方程, (Ⅱ).设为右准线上不同于点(4.0)的任意一点.若直线分别与椭圆相交于异于的点.证明点在以为直径的圆内. 在平面直角坐标系O中.直线与抛物线＝2相交于A.B两点. ①求证:“如果直线过点T(3.0).那么＝3 是真命题, ②写出(1)中命题的逆命题.判断它是真命题还是假命题.并说明理由． 解析:过点.的直线方程为 因为由题意得有惟一解. 即有惟一解. 所以 ().故 又因为 即 所以 从而得 故所求的椭圆方程为 得 故从而 由.解得所以 因为又 得因此 点评:本题主要考查直线与椭圆的位置关系.椭圆的几何性质.同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力. 依题意得 a＝2c.＝4.解得a＝2.c＝1.从而b＝. 故椭圆的方程为 . 得A.设M(x0.y0). ∵M点在椭圆上.∴y0＝(4-x02). 1 又点M异于顶点A.B.∴-2<x0<2.由P.A.M三点共线可以得 P(4.). 从而＝(x0-2.y0). ＝(2.). ∴·＝2x0-4+＝(x02-4+3y02). 2 将1代入2.化简得·＝(2-x0). ∵2-x0>0.∴·>0.则∠MBP为锐角.从而∠MBN为钝角. 故点B在以MN为直径的圆内. 解法2:由.设M(x1.y1).N(x2.y2). 则-2<x1<2.-2<x2<2.又MN的中点Q的坐标为(.). 依题意.计算点B到圆心Q的距离与半径的差 -＝(-2)2+()2-[(x1-x2)2+(y1-y2)2] ＝(x1-2) (x2-2)+y1y1 3 又直线AP的方程为y＝.直线BP的方程为y＝. 而点两直线AP与BP的交点P在准线x＝4上. ∴.即y2＝ 4 又点M在椭圆上.则.即 5 于是将4.5代入3.化简后可得-＝. 从而.点B在以MN为直径的圆内. 点评:本小题主要考查直线.圆和椭圆等平面解析几何的基础知识.考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力. 的直线l交抛物线y2=2x于点A(x1,y1).B(x12,y2). 当直线l的钭率下存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与抛物线相交于A(3,).B(3,-).∴=3. 当直线l的钭率存在时,设直线l的方程为y=k(x-3),其中k≠0. 当 y2=2x 得ky2-2y-6k=0,则y1y2=-6. y=k(x-3) 又∵x1=y, x2=y, ∴=x1x2+y1y2==3. 综上所述, 命题“如果直线l过点T(3,0),那么=3 是真命题. ②逆命题是:设直线l交抛物线y2=2x于A.B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题. 例如:取抛物线上的点A(2,2),B(,1),此时=3, 直线AB的方程为Y=不在直线AB上. 点评:由抛物线y2=2x上的点A(x1,y1).B(x12,y2)满足=3,可得y1y2=-6.或y1y2=2.如果y1y2=-6.可证得直线AB过点(3,0),如果y1y2=2, 可证得直线AB过点. 例6．椭圆C:的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上.且 (Ⅰ)求椭圆C的方程, (Ⅱ)若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心.交椭圆C于两点.且A.B关于点M对称.求直线l的方程. 已知三点P(5.2)..(6.0). (Ⅰ)求以.为焦点且过点P的椭圆的标准方程, O (Ⅱ)设点P..关于直线y＝x的对称点分别为...求以.为焦点且过点的双曲线的标准方程. 解析:(1)解法一: (Ⅰ)因为点P在椭圆C上.所以.a=3. 在Rt△PF1F2中.故椭圆的半焦距c=.从而b2=a2-c2=4.所以椭圆C的方程为＝1. (Ⅱ)设A.B的坐标分别为(x1,y1).(x2,y2). 已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为. 从而可设直线l的方程为 y=k(x+2)+1, 代入椭圆C的方程得 (4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0. 因为A.B关于点M对称. 所以 解得. 所以直线l的方程为 即8x-9y+25=0. (经检验.所求直线方程符合题意) 解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为. 设A.B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由题意x1x2且 ① ② 由①-②得: ③ 因为A.B关于点M对称.所以x1+ x2=-4.y1+ y2=2. 代入③得＝.即直线l的斜率为.所以直线l的方程为y-1＝(x+2). 即8x-9y+25=0. (经检验.所求直线方程符合题意.) (2)①由题意可设所求椭圆的标准方程为,其半焦距c=6,∴,b2=a2-c2=9. 所以所求椭圆的标准方程为 ②点P(5,2).F1.F2(6,0)关于直线y=x的对称点分别为点P.(2.5).F1..F2.(0.6). 设所求双曲线的标准方程为. 由题意知.半焦距c1=6.. ,b12=c12-a12=36-20=16. 所以所求双曲线的标准方程为. 点评:本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念.标准方程.几何性质等基础知识和基本运算能力. 题型4:知识交汇题 例7．已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为 (I) 证明线段是圆的直径; (II)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时.求p的值. 解析:(I)证明1: 整理得: 设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则 即 整理得: 故线段是圆的直径 证明2: 整理得: --..(1) 设(x,y)是以线段AB为直径的圆上则 即 去分母得: 点满足上方程,展开并将(1)代入得: 故线段是圆的直径 证明3: 整理得: --(1) 以线段AB为直径的圆的方程为 展开并将(1)代入得: 故线段是圆的直径 (II)解法1:设圆C的圆心为C(x,y),则 又因 所以圆心的轨迹方程为 设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则 当y=p时,d有最小值,由题设得 . 解法2: 设圆C的圆心为C(x,y),则 又因 所以圆心的轨迹方程为 设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为,则 因为x-2y+2=0与无公共点, 所以当x-2y-2=0与仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0的距离最小值为 将得 解法3: 设圆C的圆心为C(x,y),则 圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则 又因 当时,d有最小值,由题设得

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