Question

在直角坐标系xOy中，点M到F₁(-

3

，0)、F₂(

3

，0)的距离之和是4，点M的轨迹C与x轴的负半轴交于点A，不过点A的直线l：y=kx+b与轨迹C交于不同的两点P和Q．
（1）求轨迹C的方程；
（2）当

AP

•

AQ

=0时，求k与b的关系，并证明直线l过定点．

Answer 1

分析：（1）根据焦点坐标可求得c，根据M到两焦点距离和求得a，则b可求得，进而求得椭圆的方程．
（2）将直线方程代入曲线C的方程消去y，根据判别式大于0求得k和b的不等式关系，设出P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），根据韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，根据直线方程表示出y₁•y₂，推断出曲线C与x轴的负半轴交于点A（-2，0），进而可表示出

AP

和

AQ

根据

AP

•

AQ

=0求得（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂=0．整理求得k和b的关系式，最后进行验证求得k和b的关系．

解答：解：（1）∵点M到(-

3

，0)，(

3

，0)的距离之和是4，
∴M的轨迹C是长轴长为4，焦点在x轴上焦距为2

3

的椭圆，
其方程为

x2

4

+y2=1．
（2）将y=kx+b，代入曲线C的方程，
整理得（1+4k²）x²+8kbx+4b²-4=0，
因为直线l与曲线C交于不同的两点P和Q，
所以△=64k²b²-4（1+4k²）（4b²-4）=16（4k²-b²+1）＞0．①
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2=-

8kb

1+4k2

，x1x2=

4b2-4

1+4k2

．②
且y₁•y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）=k²x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²．③
显然，曲线C与x轴的负半轴交于点A（-2，0），
所以

AP

=(x1+2，y1)，

AQ

=(x2+2，y2)，
由

AP

•

AQ

=0，得（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂=0．
将②、③代入上式，整理得12k²-16kb+5b²=0，
所以（2k-b）（6k-5b）=0，即b=2k或b=

6

5

k．经检验，都符合条件①．
当b=2k时，直线l的方程为y=kx+2k．
显然，此时直线l经过定点（-2，0）点．即直线l经过点A，与题意不符．
当b=

6

5

k时，直线l的方程为y=kx+

6

5

k=k(x+

5

6

)．显然，此时直线l经过定点(-

6

5

，0)点，且不过点A．
综上，k与b的关系是：b=

6

5

k，且直线l经过定点(-

6

5

，0)点．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．