Question

已知F₁（-2，0），F₂（2，0），点P满足|PF₁|-|PF₂|=2，记点P的轨迹为E．
（1）求轨迹E的方程；
（2）若直线l过点F₂且与轨迹E交于P、Q两点．
（i）无论直线l绕点F₂怎样转动，在x轴上总存在定点M（m，0），使MP⊥MQ恒成立，求实数m的值．
（ii）过P、Q作直线x=

1

2

的垂线PA、OB，垂足分别为A、B，记λ=

|PA|+|QB|

|AB|

，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据双曲线的定义，可判断所求轨迹为双曲线的右支，再分别求出双曲线中的a，b的值，就可得到轨迹E的方程．
（2）（i）先设出直线l的点斜式方程，根据l与轨迹E交于P、Q两点求出斜率k的范围．设出点P，Q的坐标，因为MP⊥MQ恒成立，所以恒有

MP

•

MQ

=0，再把

MP

，

MQ

用含P，Q．M点坐标的式子表示，根据

MP

•

MQ

=0即可求出m的值，在验证若直线l的斜率k不存在时，m的值仍然成立．
（ii）方法一：先判断直线 x=

1

2

是双曲线的右准线，利用双曲线的第二定义，把|PA|+|QB|用|PQ|表示，再用弦长公式计算|PQ|的长度，得到用P，Q横坐标表示的PA|+|QB|，|AB|也用A，B点的横坐标表示，这样λ=

|PA|+|QB|

|AB|

中就可消掉
x₁，x₂，得到λ用含k的式子表示，再根据前面求出的k的范围，求出λ的范围即可．
方法二：和方法一类似，先把|PA|+|QB|用|PQ|表示，这样λ=

|PA|+|QB|

|AB|

就可用直线PQ的倾斜角的三角函数表示，再根据前面求出的直线l的斜率k的范围求出倾斜角的范围即可．

解答：解：（1）由|PF₁|-|PF₂|=2＜|F₁F₂|知，点P的轨迹E是以F₁、F₂为焦点的双曲线右支，由c=2，2a=2，
∴b²=3，故轨迹E的方程为x2-

y2

3

=1(x≥1)．
（2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k（x-2），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），与双曲线方程联立消y得（k²-3）x²-4k²x+4k²+3=0，
∴

k2-3≠0 △＞0 x1+x2= 4k2 k2-3 ＞0 x1•x2= 4k2+3 k2-3 ＞0

解得k²＞3
（i）∵

MP

•

MQ

=(x1-m)(x2-m)+y1y2
=（x₁-m）（x₂-m）+k²（x₁-2）（x₂-2）
=（k²+1）x₁x₂-（2k²+m）（x₁+x₂）+m²+4k²
=

(k2+1)(4k2+3)

k2-3

-

4k2(2k2+m)

k2-3

+m2+4k2
=

3-(4m+5)k2

k2-3

+m2．
∵MP⊥MQ，
∴

MP

•

MQ

=0，
故得3（1-m²）+k²（m²-4m-5）=0对任意的k²＞3恒成立，
∴

1-m2=0 m2-4m-5=0

，解得m=-1．
∴当m=-1时，MP⊥MQ．
当直线l的斜率不存在时，由P（2，3），Q（2，-3）及M（-1，0）知结论也成立，
综上，当m=-1时，MP⊥MQ．
（ii）∵a=1，c=2，
∴直线 x=

1

2

是双曲线的右准线，
由双曲线定义得：|PA|=

1

e

|PF2|=

1

2

|PF2|，|QB|=

1

2

|QF2|，
方法一：∴λ=

|PQ|

2|AB|

=

1+k2 |x2-x1|

2|y2-y 1|

=

1+k2 |x2-x1|

2|k(x2-x1)|

=

1+k2

2|k|

=

1

2

1+ 1 k2

．
∵k²＞3，∴0＜

1

k2

＜

1

3

，故

1

2

＜λ＜

3

3

，
注意到直线的斜率不存在时，|PQ|=|AB|，此时λ=

1

2

，
综上，λ∈[

1

2

，

3

3

)．
方法二：设直线PQ的倾斜角为θ，由于直线PQ与双曲线右支有二个交点，
∴

π

3

＜θ＜

2π

3

，过Q作QC⊥PA，垂足为C，则∠PQC=|

π

2

-θ|，
∴λ=

|PQ|

2|AB|

=

|PQ|

2|CQ|

=

1

2cos( π 2 -θ)

=

1

2sinθ

．
由

π

3

＜θ＜

2π

3

，得

3

2

＜sinθ≤1，
故：λ∈[

1

2

，

3

3

)．

点评：本题主要考查了定义法求轨迹方程，以及直线与双曲线相交位置关系的判断，弦长公式的应用．