摘要：考点一:等差.等比数列的概念与性质 例1. 已知数列 (1)求数列的通项公式, (2)求数列 解:(1)当,. 当. . (2)令 当, 当 综上. 点评:本题考查了数列的前n项与数列的通项公式之间的关系.特别要注意n＝1时情况.在解题时经常会忘记.第二问要分情况讨论.体现了分类讨论的数学思想． 例2.已知等差数列的前n项和为.且.. 数列是等比数列.(其中). (I)求数列和的通项公式,(II)记. 解:(I)公差为d. 则 . 设等比数列的公比为. . (II) 作差: . 点评:本题考查了等差数列与等比数列的基本知识.第二问.求前n项和的解法.要抓住它的结特征.一个等差数列与一个等比数列之积.乘以2后变成另外的一个式子.体现了数学的转化思想. 考点二:求数列的通项与求和 例3.将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ------ 按照以上排列的规律.第行()从左向右的第3个数为 解:前n-1 行共有正整数1+2+-+(n-1)个.即个.因此第n 行第3 个数是全体正整数中第+3个.即为． 点评:本小题考查归纳推理和等差数列求和公式.难点在于求出数列的通项.解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力. 例4..分别包含1个.5个.13个.25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎 .按同样的方式构造图形.设第个图形包含个“福娃迎迎 .则 ,＿＿＿＿ 解:第1个图个数:1 第2个图个数:1+3+1 第3个图个数:1+3+5+3+1 第4个图个数:1+3+5+7+5+3+1 第5个图个数:1+3+5+7+9+7+5+3+1=. 所以.f(5)＝41 f=8.f=16 点评:由特殊到一般.考查逻辑归纳能力.分析问题和解决问题的能力.本题的第二问是一个递推关系式.有时候求数列的通项公式.可以转化递推公式来求解.体现了转化与化归的数学思想. 考点三:数列与不等式的联系 例5.已知等比数列的首项为.公比满足.又已知..成等差数列. (1)求数列的通项 (2)令.求证:对于任意.都有 (1)解:∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ (2)证明:∵ . ∴ 点评:把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想.本题中的第(2)问.采用裂项相消法法.求出数列之和.由n的范围证出不等式. 例6. 在数列.中.a1=2.b1=4.且成等差数列.成等比数列() (Ⅰ)求a2.a3.a4及b2.b3.b4.由此猜测.的通项公式.并证明你的结论, (Ⅱ)证明:． 解:(Ⅰ)由条件得由此可得 ． 猜测． 用数学归纳法证明: ①当n=1时.由上可得结论成立． ②假设当n=k时.结论成立.即 . 那么当n=k+1时. ． 所以当n=k+1时.结论也成立． 由①②.可知对一切正整数都成立． (Ⅱ)． n≥2时.由(Ⅰ)知． 故 综上.原不等式成立． 点评:本小题主要考查等差数列.等比数列.数学归纳法.不等式等基础知识.考查综合运用数学知识进行归纳.总结.推理.论证等能力． 例7. 设数列满足为实数 (Ⅰ)证明:对任意成立的充分必要条件是, (Ⅱ)设.证明:; (Ⅲ)设.证明: 解: (1) 必要性 : . 又 .即 充分性 :设 .对用数学归纳法证明 当时..假设 则.且 .由数学归纳法知对所有成立 (2) 设 .当时..结论成立 当 时. ,由(1)知.所以 且 (3) 设 .当时..结论成立 当时.由(2)知 点评:本题是数列.充要条件.数学归纳法的知识交汇题.属于难题.复习时应引起注意.加强训练. 考点四:数列与函数.概率等的联系 例题8.. 已知函数. (Ⅰ)设{an}是正数组成的数列.前n项和为Sn.其中a1=3.若点的图象上.求证:点的图象上, 在区间内的极值. (Ⅰ)证明:因为所以′(x)=x2+2x, 由点在函数y=f′(x)的图象上, 又所以 所以,又因为′(n)=n2+2n,所以, 故点也在函数y=f′(x)的图象上. (Ⅱ)解:, 由得. 当x变化时,﹑的变化情况如下表: x -2 0 f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 注意到,从而 ①当,此时无极小值, ②当的极小值为,此时无极大值, ③当既无极大值又无极小值. 点评:本小题主要考查函数极值.等差数列等基本知识.考查分类与整合.转化与化归等数学思想方法.考查分析问题和解决问题的能力. 例9 .将一骰子连续抛掷三次.它落地时向上的点数依次成等差数 列的概率为( ) A． B． C． D． 解:一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个.其中为等差数列有三类:公差为1或-1的有8个,(3)公差为2或-2的有4个.共有18个. 成等差数列的概率为.选B 点评:本题是以数列和概率的背景出现.题型新颖而别开生面.有采取分类讨论.分类时要做到不遗漏.不重复. 考点五:数列与程序框图的联系 例10.根据如图所示的程序框图.将输出的x.y值依次分别记为, (Ⅰ)求数列的通项公式, (Ⅱ)写出y1.y2.y3.y4.由此猜想出数列{yn}, 的一个通项公式yn.并证明你的结论; (Ⅲ)求． 解:(Ⅰ)由框图.知数列 ∴ (Ⅱ)y1=2.y2=8.y3=26.y4=80. 由此.猜想 证明:由框图.知数列{yn}中.yn+1=3yn+2 ∴ ∴ ∴数列{yn+1}是以3为首项.3为公比的等比数列. ∴+1=3·3n-1=3n ∴=3n-1() (Ⅲ)zn= =1×+-+ =1×3+3×32+-+·3n-[1+3+-+] 记Sn=1×3+3×32+-+·3n.① 则3Sn=1×32+3×33+-+×3n+1 ② ①-②.得-2Sn=3+2·32+2·33+-+2·3n-·3n+1 =2·3n+1 =2×= ∴ 又1+3+-+=n2 ∴. 点评:程序框图与数列的联系是新课标背景下的新鲜事物.因为程序框图中循环.与数列的各项一一对应.所以.这方面的内容是命题的新方向.应引起重视.

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