Question

已知正项等比数{a_n}中，a₁=3，a₃=243，若数列{b_n}满足b_n=log₃a_n，则数列{

1

bnbn+1

}的前n项和S_n=（　　）

• A．

  2n

  2n-1

• B．

  2n

  2n+1

• C．

  n

  2n-1

• D．

  n

  2n+1

Answer 1

分析：利用等比数列的通项公式即可得出公比q，利用对数的运算可得b_n，再利用“裂项求和”即可得出．

解答：解：设正项等比数{a_n}的公比为q，由a₁=3，a₃=243，可得3×q²=243，解得q=9．
∴an=a1qn-1=3×9^n-1=3^2n-1．
∴b_n=log₃a_n=log332n-1=2n-1．
∴

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．
∴S_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．
故选D．

点评：本题考查了等比数列的通项公式、对数的运算、“裂项求和”等基础知识与基本方法，属于基础题．