（2013•肇庆二模）设F₁，F₂分别是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦点．
（1）设椭圆C上的点(

2

2

，

3

2

)到F₁，F₂两点距离之和等于2

2

，写出椭圆C的方程；
（2）设过（1）中所得椭圆上的焦点F₂且斜率为1的直线与其相交于A，B，求△ABF₁的面积；
（3）设点P是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M，N两点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为k_PN，k_PN试探究k_PN•k_PN的值是否与点P及直线l有关，并证明你的结论．

（2011•奉贤区二模）（理）已知函数f(x)=

.

sinx cosx -sinα cosα

.

，g(x)=

.

cosx sinx sinβ cosβ

.

，α，β是参数，x∈R，α∈(-

π

2

，

π

2

)，β∈(-

π

2

，

π

2

)
（1）若α=

π

4

，β=

π

4

，判别h（x）=f（x）+g（x）的奇偶性；
若α=-

π

4

，β=

π

4

，判别h（x）=f²（x）+g²（x）的奇偶性；
（2）若α=

π

3

，t（x）=f（x）g（x）是偶函数，求β；
（3）请你仿照问题（1）（2）提一个问题（3），使得所提问题或是（1）的推广或是问题（2）的推广，问题（1）或（2）是问题（3）的特例．（不必证明命题）
将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分．

（2013•汕头二模）已知动点P（x，y）与两个定点M（-1，0），N（1，0）的连线的斜率之积等于常数λ（λ≠0）
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状；
（3）当λ=2时，对于平面上的定点E(-

3

，0)，F(

3

，0)，试探究轨迹C上是否存在点P，使得∠EPF=120°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

（2013•崇明县二模）已知椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

2

= 1（a＞0），其焦点在x轴上，点Q(

2

2

，

7

2

)为椭圆上一点．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设动点P（x₀，y₀）满足

OP

=

OM

+2

ON

，其中M、N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为-

1

2

，求证：

x

2 0

+2

y

2 0

为定值；
（3）在（2）的条件下探究：是否存在两个定点A，B，使得|PA|+|PB|为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．

（2007•杨浦区二模）（理）设斜率为k₁的直线L交椭圆C：

x2

2

+y2=1于A、B两点，点M为弦AB的中点，直线OM的斜率为k₂（其中O为坐标原点，假设k₁、k₂都存在）．
（1）求k₁?k₂的值．
（2）把上述椭圆C一般化为

x2

a2

+

y2

b2

=1
（a＞b＞0），其它条件不变，试猜想k₁与k₂关系（不需要证明）．请你给出在双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）中相类似的结论，并证明你的结论．
（3）分析（2）中的探究结果，并作出进一步概括，使上述结果都是你所概括命题的特例．
如果概括后的命题中的直线L过原点，P为概括后命题中曲线上一动点，借助直线L及动点P，请你提出一个有意义的数学问题，并予以解决．