Question

（2011•奉贤区二模）（理）已知函数f(x)=

.

sinx cosx -sinα cosα

.

，g(x)=

.

cosx sinx sinβ cosβ

.

，α，β是参数，x∈R，α∈(-

π

2

，

π

2

)，β∈(-

π

2

，

π

2

)
（1）若α=

π

4

，β=

π

4

，判别h（x）=f（x）+g（x）的奇偶性；
若α=-

π

4

，β=

π

4

，判别h（x）=f²（x）+g²（x）的奇偶性；
（2）若α=

π

3

，t（x）=f（x）g（x）是偶函数，求β；
（3）请你仿照问题（1）（2）提一个问题（3），使得所提问题或是（1）的推广或是问题（2）的推广，问题（1）或（2）是问题（3）的特例．（不必证明命题）
将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分．

Answer 1

分析：（1）根据二阶行列式的运算分别求得函数f（x）、g（x），分别求出α=

π

4

，β=

π

4

，（x）=f（x）+g（x）和α=-

π

4

，β=

π

4

，h（x）=f²（x）+g²（x）的解析式，即可判定其奇偶性；
（2）α=

π

3

，求出t（x）=f（x）g（x）的解析式，法一：利用积化和差公式，把t(x)=sin(x+

π

3

)•cos(x+β)化简为t(x)=

1

2

[sin(2x+β+

π

3

)+sin(

π

3

-β)]，根据函数为偶函数，即可求得β的值；法2：利用偶函数的定义，可以直接求出β的值；法3：特殊值法，根据函数是偶函数，可得到t(

π

3

)=t(-

π

3

)，解此方程即可求得β的值；
（3）根据问题（1）（2）即可以写出以下结果：写出任何一种的一个（加法或乘法）均可以．

解答：（理）解：（1）f（x）=sinx-cosα+cosx-cosα，g（x）=cosx•cosα-sinx•sinα
f（x）=sin（x+α），g（x）=cos（x+β）
h(x)=sin(x+

π

4

)+cos(x+

π

4

)=

2

sin(x+

π

2

)=

2

cosx
所以h（x）是偶函数                                                  
h(x)=sin2(x-

π

4

)+cos2(x+

π

4

)=

1-cos(2x- π 2 )

2

+

1+cos(2x+ π 2 )

2

=

1-sin2x+1-sin2x

2

=1-sin2x
所以h（x）是非奇非偶函数       
（2）方法一（积化和差）：t（x）=f（x）•g（x）为偶函数，
t(x)=sin(x+

π

3

)•cos(x+β)=

1

2

[sin(2x+β+

π

3

)+sin(

π

3

-β)]
t（x）=f（x）•g（x）为偶函数，所以sin(2x+β+

π

3

)是偶函数，
β+

π

3

=kπ+

π

2

，β∈(-

π

2

，

π

2

)，
∴β=

π

6

方法二（定义法）：t（x）=f（x）•g（x）为偶函数
所以t(x)=t(-x)，sin(x+

π

3

)cos(x+β)=sin(-x+

π

3

)cos(-x+β)
展开整理sinx•cosx•(cosβ-

3

sinβ)=0对一切x∈R恒成立           
tanβ=

3

3

，β∈(-

π

2

，

π

2

)，
∴β=

π

6

方法三（特殊值法）：t（x）=f（x）•g（x）为偶函数
所以t(x)=t(-x)，sin(x+

π

3

)cos(x+β)=sin(-x+

π

3

)cos(-x+β)
∴t(

π

3

)=t(-

π

3

)，
所以sin(

π

3

+

π

3

)cos(

π

3

+β)=sin(-

π

3

+

π

3

)cos(-

π

3

+β)=0
cos(

π

3

+β)=0，β∈(-

π

2

，

π

2

)，
∴β=

π

6

（3）第一层次，写出任何一种的一个（加法或乘法）均可以，
1、α+β=

π

2

，f（x）+g（x）是偶函数；           2、α+β=-

π

2

，f（x）+g（x）是奇函数；
3、α-β=

π

2

，f（x）+g（x）是非奇非偶函数；      4、α-β=-

π

2

，f（x）+g（x）既奇又偶函数
第二层次，写出任何一种的一个（加法或乘法）均可以，
1、α+β=

π

2

，f³（x）+g³（x）是偶函数；（数字不分奇偶）  
2、α+β=-

π

2

，f⁵（x）+g⁵（x）是奇函数α+β=-

π

2

，f⁴（x）+g⁴（x）是偶函数（数字只能同奇数）
3、α-β=

π

2

，f⁵（x）+g⁵（x）是非奇非偶函数（数字不分奇偶，但求相同）
4、α-β=-

π

2

，f³（x）+g³（x）是既奇又偶函数   （数字只能奇数）
α-β=-

π

2

，f²（x）+g²（x）是非奇非偶函数
第三层次，写出逆命题任何一种的一个（加法或乘法）均可以，
1、f³（x）+g³（x）是偶函数（数字不分奇偶，但相同），则α+β=

π

2

2、f⁵（x）+g⁵（x）是奇函数（数字只能正奇数），则α+β=-

π

2

f²（x）+g²（x）是偶函数（数字只能正偶数），则α+β=-

π

2

3、f³（x）+g³（x）是偶函数 （数字只能正奇数），则α-β=-

π

2

第四层次，写出充要条件中的任何一种均可以，（16分）
1、α+β=

π

2

的充要条件是f（x）+g（x）是偶函数
2、f⁵（x）+g⁵（x）是奇函数（数字只能正奇数）的充要条件是α+β=-

π

2

f²（x）+g²（x）是偶函数（数字只能正偶数）的充要条件是α+β=-

π

2

3、f³（x）+g³（x）是偶函数 （数字只能正奇数）的充要条件是α-β=-

π

2

第五层，写出任何一种均可以（逆命题，充要条件等均可以，限于篇幅省略）
1、α+β=

π

2

，n∈N^*时，fⁿ（x）+gⁿ（x）都是偶函数
2、α+β=-

π

2

，n∈N^*时，n是正奇数，fⁿ（x）+gⁿ（x）是奇函数
α+β=-

π

2

，n∈N^*时，n是正偶数，fⁿ（x）+gⁿ（x）是偶函数
3、α-β=-

π

2

，n∈N^*时，n奇数，fⁿ（x）+gⁿ（x）是既奇又偶函数
4、α-β=-

π

2

，n∈N^*时，n偶数，fⁿ（x）+gⁿ（x）是非奇非偶函数

点评：本题考查函数的奇偶性的判定，题目设置新颖，特别是问题（3）的设置，侧重与对于知识的灵活应用，分析、归纳、总结能力的考查，属中档题．