摘要：研究实例 (1)探讨函数.当无限趋近于2时的变化趋势． 当从左侧趋近于2时.记为:． 1.1 1.3 1.5 1.7 1.9 1.99 1.999 1.9999 2 y=x2 1.21 1.69 2.25 2.89 3.61 3.9601 3.996 3.9996 4 当从右侧趋近于2时, 记为:. 2.9 2.7 2.5 2.3 2.1 2.01 2.001 2.0001 2 y=x2 8.41. 7.29 6.25 5.25 4.41 4.04 4.004 4.0004 4 发现,,因此有． (2)我们再继续看,当无限趋近于1()时的变化趋势: ,当从左侧趋近于1时.即时.． 当从右侧趋近于1时, 即时.． 即. (3)分段函数当x→0的变化趋势. ①x从0的左边无限趋近于0.则的值无限趋近于-1.即 ②x从0的右边无限趋近于0.则的值无限趋近于1. 即 可以看出.并且都不等于．象这种情况.就称当时.的极限不存在．
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人们通过研究发现1，3，6，10，…这些数能表示三角形，所以将其称为三角形数，类似地，1，4，9，16…这样的数称为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
| A、289 | B、1024 | C、1225 | D、1378 |
已知函数f(x)=
．请完成以下任务：
（Ⅰ）探究a=1时，函数f（x）在区间[0，+∞）上的最大值．为此，我们列表如下
请观察表中y值随x值变化的特点，解答以下两个问题．
（1）写出函数f（x），在[0，+∞）上的单调区间；指出在各个区间上的单调性，并对其中一个区间的单调性用定义加以证明．
（2）请回答：当x取何值时f（x）取得最大值，f（x）的最大值是多少？
（Ⅱ）按以下两个步骤研究a=1时，函数f(x)=
，(x∈R)的值域．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）结合已知和以上研究，画出函数f（x）的大致图象，指出函数的值域．
（Ⅲ）己知a=-1，f（x）的定义域为（-1，1），解不等式f(4-3x)+f(x-
)＞0．
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| 4x |
| x2+a |
（Ⅰ）探究a=1时，函数f（x）在区间[0，+∞）上的最大值．为此，我们列表如下
| x | 0 | 0.1 | 0.2 | 0.5 | 0.8 | 1 | 1.2 | 1.5 | 1.8 | 2 | 4 | 6 | … |
| y | 0 | 0.396 | 0.769 | 1.6 | 1.951 | 2 | 1.967 | 1.846 | 1.698 | 1.6 | 0.941 | 0.649 | … |
（1）写出函数f（x），在[0，+∞）上的单调区间；指出在各个区间上的单调性，并对其中一个区间的单调性用定义加以证明．
（2）请回答：当x取何值时f（x）取得最大值，f（x）的最大值是多少？
（Ⅱ）按以下两个步骤研究a=1时，函数f(x)=
| 4x |
| x2+a |
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）结合已知和以上研究，画出函数f（x）的大致图象，指出函数的值域．
（Ⅲ）己知a=-1，f（x）的定义域为（-1，1），解不等式f(4-3x)+f(x-
| 3 |
| 2 |
（2012•普陀区一模）设点F是抛物L：y2=2px（p＞0）的焦点，P1，P2，…，Pn是抛物线L上的n个不同的点n（n≥3，n∈N*）．
（1）当p=2时，试写出抛物线L上三点P1、P2、P3的坐标，时期满足|
|+|
|+|
|=6；
（2）当n≥3时，若
+
+…+
=
，求证：|
|+|
|+…+|
|=np；
（3）当n＞3时，某同学对（2）的逆命题，即：“若|
|+|
|+…+|
|=np，则
+
+…+
=
”开展了研究并发现其为假命题．
请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究：
1．试构造一个说明该命题确实是假命题的反例；
2．对任意给定的大于3的正整数n，试构造该假命题反例的一般形式，并说明你的理由：
3．如果补充一个条件后能使该命题为真，请写出你认为需要补充的一个条件，并说明加上该条件后，能使该逆命题为真命题的理由．
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（1）当p=2时，试写出抛物线L上三点P1、P2、P3的坐标，时期满足|
| FP1 |
| FP2 |
| FP3 |
（2）当n≥3时，若
| FP1 |
| FP2 |
| FPn |
| 0 |
| FP1 |
| FP2 |
| FPn |
（3）当n＞3时，某同学对（2）的逆命题，即：“若|
| FP1 |
| FP2 |
| FPN |
| FP1 |
| FP2 |
| FPN |
| 0 |
请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究：
1．试构造一个说明该命题确实是假命题的反例；
2．对任意给定的大于3的正整数n，试构造该假命题反例的一般形式，并说明你的理由：
3．如果补充一个条件后能使该命题为真，请写出你认为需要补充的一个条件，并说明加上该条件后，能使该逆命题为真命题的理由．
已知函数
．请完成以下任务：
（Ⅰ）探究a=1时，函数f（x）在区间[0，+∞）上的最大值．为此，我们列表如下
请观察表中y值随x值变化的特点，解答以下两个问题．
（1）写出函数f（x），在[0，+∞）上的单调区间；指出在各个区间上的单调性，并对其中一个区间的单调性用定义加以证明．
（2）请回答：当x取何值时f（x）取得最大值，f（x）的最大值是多少？
（Ⅱ）按以下两个步骤研究a=1时，函数
的值域．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）结合已知和以上研究，画出函数f（x）的大致图象，指出函数的值域．
（Ⅲ）己知a=-1，f（x）的定义域为（-1，1），解不等式
．
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．请完成以下任务：（Ⅰ）探究a=1时，函数f（x）在区间[0，+∞）上的最大值．为此，我们列表如下
| x | 0.1 | 0.2 | 0.5 | 0.8 | 1 | 1.2 | 1.5 | 1.8 | 2 | 4 | 6 | … | |
| y | 0.396 | 0.769 | 1.6 | 1.951 | 2 | 1.967 | 1.846 | 1.698 | 1.6 | 0.941 | 0.649 | … |
（1）写出函数f（x），在[0，+∞）上的单调区间；指出在各个区间上的单调性，并对其中一个区间的单调性用定义加以证明．
（2）请回答：当x取何值时f（x）取得最大值，f（x）的最大值是多少？
（Ⅱ）按以下两个步骤研究a=1时，函数
的值域．（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）结合已知和以上研究，画出函数f（x）的大致图象，指出函数的值域．
（Ⅲ）己知a=-1，f（x）的定义域为（-1，1），解不等式
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