摘要： 平面内有n个圆.任意两个圆都相交于两点.任何三个圆都不相交于同一点.求证这n个圆将平面分成f(n)=n2-n+2个部分. 证明:(1)当n=1时.一个圆将平面分成两个部分.且f(1)=1-1+2=2. 因此.n=1时命题成立. (2)假设n=k时命题成立.即k个圆把平面分成f(k)=k2-k+2个部分. 则n=k+1时.在k+1个圆中任取一个圆C.剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分.而圆C与k个圆有2k个交点.这2k个交点将圆C分成2k段弧.每段弧将它所在的平面部分一分为二.故共增加了2k个平面部分.因此:f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2. ∴n=k+1时命题也成立. 由知对一切n∈N*.命题都成立.

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