摘要：如图.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中.AA1＝2AB＝4.点E在CC1上.且CE＝λCC1. (1)λ为何值时.A1C⊥平面BED, (2)若A1C⊥平面BED.求二面角A1-BD-E的余弦值. 解:法一:(1)连接B1C交BE于点F.连接AC交BD于点G. ∴AC⊥BD.由垂直关系得.A1C⊥BD. 若A1C⊥平面BED.则A1C⊥BE. 由垂直关系可得B1C⊥BE. ∴△BCE∽△B1BC.∴＝＝. ∴CE＝1.∴λ＝＝. (2)连接A1G.连接EG交A1C于H.则A1G⊥BD. ∵A1C⊥平面BED. ∴∠A1GE是二面角A1-BD-E的平面角. ∵A1G＝3.EG＝.A1E＝. ∴cos∠A1GE＝＝. 法二:(1)以D为坐标原点.射线DA为x轴的正半轴.射线DC为y轴的正半轴.射线DD1为z轴的正半轴.建立如图所示直角坐标系D-xyz. 依题设.D.B.C.A1. ∵CE＝λCC1＝4λ.∴E(0,2,4λ). ∴＝.＝. ＝.＝(0,2,4λ). ∵·＝2×＝0. ∴⊥.∴DB⊥A1C. 若A1C⊥平面BED.则A1C⊥DE.∴⊥. ∴·＝×4λ＝4-16λ＝0. ∴λ＝. (2)设向量n＝(x.y.z)是平面DA1B的一个法向量. 则n⊥.n⊥.∴2x+2y＝0,2x+4z＝0. 令z＝1.则x＝-2.y＝2.∴n＝ 由(1)知平面BDE的一个法向量为＝ ∴cos〈n.〉＝＝. 即二面角A1-BD-E的余弦值为. .

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