Question

18、函数f（x）=2^x和g（x）=x³的部分图象的示意图如图所示．设两函数的图象
交于点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），且x₁＜x₂．
（1）请指出示意图中曲线C₁、C₂分别对应哪一个函数？
（2）若x₁∈[a，a+1]，x₂∈[b，b+1]，且a，b∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，指出a、b的值，并说明理由；
（3）结合函数图象示意图，请把f（6）、g（6）、f（2009）、g（2009）四个数按从小到大的顺序排列．

Answer 1

分析：（1）由幂函数和指数函数的增长的特点知，当自变量取值足够大时，2^x 远大于 x³ ，故g（x）=x³ ，f（x）=2^x ．
（2）由h（1）•h（2）＜0，得x₁∈[1，2]，由h（9）•h（10）＜0，可得x₂∈[9，10]．
（3）由两个函数的图象及两个函数的增长速度的快慢可得，当自变量取值足够大时，2^x 远大于 x³ ．

解答：解：（1）图象C₁对应的函数：g（x）=x³ ； 图象 C₂对应的函数：f（x）=2^x ．
（2）记h（x）=f（x）-g（x），由h（1）=1，h（2）=-4，
由h（1）•h（2）＜0，
得x₁∈[1，2]，∴a=1．
同理：h（9）=-217，h（10）=24，h（9）•h（10）＜0，
可得x₂∈[9，10]，∴b=9．
（3）由两个函数的图象及两个函数的增长速度的快慢可得，f（6）＜g（6）＜g（2007）＜f（2007）．

点评：本题考查指数函数和幂函数的增长差异，体现了数形结合的数学思想．