摘要：1 若a≠b.a≠0.b≠0.则 > 2 解不等式|x2-4x+2|≥ 0＜x≤或≤x≤或x≥4 3求证:(1)|x+1|+|x-1|≥2; (2)|x+2|+|x+1|+|x-1|+|x-2|≥6; (3)2|x+2|+|x+1|≥1(当且仅当x=-2时,“= 号成立) 证明:(1)|x+1|+|x-1|≥|(x+1)-(x-1)|=2 (2)|x+1|+|x-1|≥|(x+1)-(x-1)|=2 当且仅当(x+1)(x-1)≤0,即-1≤x≤1时“= 成立; 又|x+2|+|x-2|≥|(x+2)-(x-2)|=4, 当且仅当(x+2)(x-2)≤0,即-2≤x≤2时“= 号成立 ∴|x+2|+|x+1|+|x-1|+|x-2|≥6, 当且仅当即-1≤x≤1时“= 号成立 (3)|x+2|+|x+1|≥|(x+2)-(x+1)|=1, 当且仅当(x+2)(x+1)≤0,即-2≤x≤-1时“= 号成立; 又|x+2|≥0,当且仅当x=-2时.“= 号成立, ∴2|x+2|+|x+1|≥1, 当x=-2时.“= 号成立 4已知f(x)=,当|a|≠|b|时,求证: (1)|a+b|<|f(a)+f(b)|;(2)|a-b|>|f(a)-f(b)| 证明:(1)| a+b|≤|a|+|b|<=|f(a)+f(b)| 得:|a+b|<, ∴|a-b|= 5求证:≥|a|-|b|(a≠b) 证明:当|a|≤|b|时,|a|-|b|≤0,≥0,有 ≥|a|-|b|; 当|a|>|b|时,又a≠0,从而|a|>0,有||<1-||>-1-≥-|b| ∵(|b|≥0) ∴≥=|a|-≥|a|-|b| 综上所述有:≥|a|-|b|(a≠b) 6若|x|<1,|y|<1,|z|<1,求证:||<1 证明:所证不等式 |x+y+z+xyz|<|1+xy+yz+zx| (x+y+z+xyz)2<(1+xy+yz+zx)2 (xyz+xy+yz+zx+x+y+z+1)(xyz-xy-yz-zx+x+y+z-1)<0 ［(x+1)(y+1)(z+1)］·［(x-1)(y-1)(z-1)］<0 (x2-1)(y2-1)(z2-1)<0 由于|x|<1,|y|<1,|z|<1.从而x2<1,y2<1,z2<1, 于是(x2-1)(y2-1)(z2-1)<0成立,所以原不等式成立 7已知a,b∈R,求证: 证明:原不等式|a+b|(1+|a|)(1+|b|) ≤|a|(1+|a+b|)(1+|b|)+|b|(1+|a+b|)(1+|a|) |a+b|(1+|b|)+|a+b|·|a|(1+|b|) ≤|a|(1+|b|)+|a|·(1+|b|)·|a+b|+|b|(1+|a|)+|b|·|a+b|(1+|a|) |a+b|+|a+b|·|b|≤|a|+2|ab|+|b|+|b|·|a+b|+|ab|·|a+b| |a+b|≤|a|+|b|+2|ab|+|ab|·|a+b| 由于|a+b|≤|a|+|b|成立,显然最后一个不等式成立,从而原不等式成立 以上证明是最基本的方法,但过程繁琐冗长,利用放大技巧证明要简捷得多,证明如下: ∵|a+b|≤|a|+|b||a|+|b|-|a+b|≥0,

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