摘要：将圆O: 上各点的纵坐标变为原来的一半 , 得到曲线C. (1) 求C的方程; (2) 设O为坐标原点, 过点的直线l与C交于A.B两点, N为线段AB的中点, 延长线段ON交C于点E. 求证: 的充要条件是. 解: (1)设点, 点M的坐标为,由题意可知------ 又∴. 所以, 点M的轨迹C的方程为.------ (2)设点, , 点N的坐标为, ㈠当直线l与x轴重合时, 线段AB的中点N就是原点O, 不合题意,舍去; ------ ㈡设直线l: 由消去x, 得------① ∴------ ∴, ∴点N的坐标为.------ ①若, 坐标为, 则点E的为, 由点E在曲线C上, 得, 即 ∴舍去). 由方程①得 又 ∴.------ ②若, 由①得∴ ∴点N的坐标为, 射线ON方程为: , 由 解得 ∴点E的坐标为 ∴. 综上, 的充要条件是.

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