Question

.（本小题满分12分）将圆O: 上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变),

得到曲线C.(1) 求C的方程;(2) 设O为坐标原点, 过点的直线l与C交于A、B两点, N为线段AB的中点,延长线段ON交C于点E.求证: 的充要条件是.

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)略   

解析:

: (1)设点, 点M的坐标为,由题意可知………………(2分)

又∴.

所以, 点M的轨迹C的方程为.………………(4分)

(2)设点, , 点N的坐标为,

㈠当直线l与x轴重合时, 线段AB的中点N就是原点O,

不合题意,舍去; ………………(5分)

㈡设直线l:

由消去x,

得………①∴………………(6分)

∴,

∴点N的坐标为.………………(8分)

①若, 坐标为, 则点E的为, 由点E在曲线C上,

得, 即 ∴舍去).

由方程①得

又∴.…(10分)

②若, 由①得∴

∴点N的坐标为, 射线ON方程为: ,

由  解得 ∴点E的坐标为

∴.综上, 的充要条件是.……(12分)