(本小题满分14分)

已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当为偶数时，正项数列满足，求的通项公式；

（3）当为奇数且时，求证：．

(本小题满分14分)已知函数，且.

(1)判断的奇偶性并说明理由；    

(2)判断在区间上的单调性，并证明你的结论；

(3)若在区间上，不等式恒成立，试确定实数的取值范围.

(本小题满分14分)已知函数.

（1）试讨论函数在的单调性；

（2）若，求函数在上的最大值和最小值；

（3）若函数在区间上只有一个零点，求的取值范围。

(本小题满分14分)已知函数，且.
(1)判断的奇偶性并说明理由；    
(2)判断在区间上的单调性，并证明你的结论；
(3)若在区间上，不等式恒成立，试确定实数的取值范围.

(本小题满分14分) 已知函数

（I）若 在其定义域是增函数，求b的取值范围；

（II）在（I）的结论下，设函数的最小值；

（III）设函数的图象C₁与函数的图象C₂交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C₁、C₂于点M、N，问是否存在点R，使C₁在M处的切线与C₂在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由.