已知函数fn(x)=

ln(x+n)-n

x+n

+

1

n(n+1)

（其中n为常数，n∈N^*），将函数f_n（x）的最大值记为a_n，由a_n构成的数列{a_n}的前n项和记为S_n．
（Ⅰ）求S_n；
（Ⅱ）若对任意的n∈N^*，总存在x∈R⁺使

x

ex-1

+a=an，求a的取值范围；
（Ⅲ）比较

1

en+1+e•n

+fn(en)与a_n的大小，并加以证明．

已知函数f（x）=

1

2

x2-2tx+3lnx，g（x）=

x+t

x2+3

，函数f（x）在x=a，x=b处取得极值，其中0＜a＜b．
（1）求实数t的范围；
（2）判断g（x）在[-b，-a]上单调性；
（3）已知g（x）在[-b，-a]上的最大值比最小值大

1

3

，若方程f（x）=m有3个不同的解，求m的范围．

已知函数fn(x)=

ln(x+n)-n

x+n

+

1

n(n+1)

（其中n为常数，n∈N^*），将函数f_n（x）的最大值记为a_n，由a_n构成的数列{a_n}的前n项和记为S_n．
（Ⅰ）求S_n；
（Ⅱ）若对任意的n∈N^*，总存在x∈R⁺使

x

ex-1

+a=an，求a的取值范围；
（Ⅲ）比较

1

en+1+e•n

+fn(en)与a_n的大小，并加以证明．