题目内容
已知函数fn(x)=
+
（其中n为常数，n∈N*），将函数fn（x）的最大值记为an，由an构成的数列{an}的前n项和记为Sn．
（Ⅰ）求Sn；
（Ⅱ）若对任意的n∈N*，总存在x∈R+使
+a=an，求a的取值范围；
（Ⅲ）比较
+fn(en)与an的大小，并加以证明．
| ln(x+n)-n |
| x+n |
| 1 |
| n(n+1) |
（Ⅰ）求Sn；
（Ⅱ）若对任意的n∈N*，总存在x∈R+使
| x |
| ex-1 |
（Ⅲ）比较
| 1 |
| en+1+e•n |
分析：（Ⅰ）fn′(x)=
，令fn′（x）＞0，则x＜en+1-n．所以fn（x）在（-n，en+1-n）上递增，在（en+1-n，+∞）上递减．由此能求出Sn．
（Ⅱ）由n≥1，知en+1递增，n（n+1）递增，an=
+
递减．所以an∈(0，
+
]，令g(x)=
+a，则g′(x)=
，故g（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减．由此入手能够求出a的取值范围．
（Ⅲ）作差相减
+fn(en)-an，得
+
+
-
-
，整理为
(
+ln
-
)，令t=
，能够推导出
+fn(en)＞an．
| -ln(x+n)+n+1 |
| (x+n)2 |
（Ⅱ）由n≥1，知en+1递增，n（n+1）递增，an=
| 1 |
| en+1 |
| 1 |
| n(n+1) |
| 1 |
| e2 |
| 1 |
| 2 |
| x |
| ex-1 |
| 1-x |
| ex-1 |
（Ⅲ）作差相减
| 1 |
| en+1+e•n |
| 1 |
| en+1+e•n |
| ln(en+n)-n |
| en+n |
| 1 |
| n(n+1) |
| 1 |
| en+1 |
| 1 |
| n(n+1) |
| 1 |
| en+n |
| 1 |
| e |
| en+n |
| en |
| 1 |
| e |
| en+n |
| en |
| en+n |
| en |
| 1 |
| en+1+e•n |
解答：解：（Ⅰ）fn′(x)=
，（2分）
令fn′（x）＞0，则x＜en+1-n．
∴fn（x）在（-n，en+1-n）上递增，在（en+1-n，+∞）上递减．（4分）
∴当x=en+1-n时，fn(x)max=fn(en+1-n)=
+
（5分）
即an=
+
，
则Sn=
+
．（6分）
（Ⅱ）∵n≥1，∴en+1递增，n（n+1）递增，
∴an=
+
递减．
∴0＜an≤a1=
+
，
即an∈(0，
+
]（8分）
令g(x)=
+a，则g′(x)=
，
∴g（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减．
当x→0时，
→0；
当x→+∞时，
＞0；
又g（1）=1+a，
∴g（x）∈（a，1+a]（10分）
由已知得，（a，1+a]?(0，
+
]，
∴
∴
-
≤a≤0（11分）
（Ⅲ）
+fn(en)-an
=
+
+
-
-
=
+
ln
-
=
(
+ln
-
)（12分）
令t=
，
∵g(x)=
(x≥1)，g′(x)=
≤0∴g(x)在[1，+∞）上递减．
∴1＜g(x)≤1+
，
即t∈(1，1+
]（13分）
又r(t)=
+lnt-
t，r′(t)=
-
＞0∴r(t)＞r(1)=0（14分）
∴
(
+ln
-
)＞0
∴
+fn(en)＞an（15分）
| -ln(x+n)+n+1 |
| (x+n)2 |
令fn′（x）＞0，则x＜en+1-n．
∴fn（x）在（-n，en+1-n）上递增，在（en+1-n，+∞）上递减．（4分）
∴当x=en+1-n时，fn(x)max=fn(en+1-n)=
| 1 |
| en+1 |
| 1 |
| n(n+1) |
即an=
| 1 |
| en+1 |
| 1 |
| n(n+1) |
则Sn=
| en-1 |
| en+2-en+1 |
| n |
| n+1 |
（Ⅱ）∵n≥1，∴en+1递增，n（n+1）递增，
∴an=
| 1 |
| en+1 |
| 1 |
| n(n+1) |
∴0＜an≤a1=
| 1 |
| e2 |
| 1 |
| 2 |
即an∈(0，
| 1 |
| e2 |
| 1 |
| 2 |
令g(x)=
| x |
| ex-1 |
| 1-x |
| ex-1 |
∴g（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减．
当x→0时，
| x |
| ex-1 |
当x→+∞时，
| x |
| ex-1 |
又g（1）=1+a，
∴g（x）∈（a，1+a]（10分）
由已知得，（a，1+a]?(0，
| 1 |
| e2 |
| 1 |
| 2 |
∴
|
| 1 |
| e2 |
| 1 |
| 2 |
（Ⅲ）
| 1 |
| en+1+e•n |
=
| 1 |
| en+1+e•n |
| ln(en+n)-n |
| en+n |
| 1 |
| n(n+1) |
| 1 |
| en+1 |
| 1 |
| n(n+1) |
=
| 1 |
| e(en+n) |
| 1 |
| en+n |
| en+n |
| en |
| 1 |
| en+1 |
=
| 1 |
| en+n |
| 1 |
| e |
| en+n |
| en |
| 1 |
| e |
| en+n |
| en |
令t=
| en+n |
| en |
∵g(x)=
| ex+x |
| ex |
| 1-x |
| ex |
∴1＜g(x)≤1+
| 1 |
| e |
即t∈(1，1+
| 1 |
| e |
又r(t)=
| 1 |
| e |
| 1 |
| e |
| 1 |
| t |
| 1 |
| e |
∴
| 1 |
| en+n |
| 1 |
| e |
| en+n |
| en |
| 1 |
| e |
| en+n |
| en |
∴
| 1 |
| en+1+e•n |
点评：本题考查导数在函数最值中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，仔细解答，注意培养运算能力，注意作差法的合理运用．
练习册系列答案
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，求
的最大值和最小值
求证：fn(x)≥nx.