摘要：12．是否存在一个实数k.使方程8x2+6kx+2k+1＝0的两根是一个直角三角形的两个锐角的正弦值? [解析] 假设存在一个实数k.满足题意.不妨设A.B是Rt△ABC的两锐角.则A+B＝90°.于是sin B＝cos A.所以sin A与cos A是方程8x2+6kx+2k+1＝0的两根. 则. 由于sin2A+cos2A＝1.所以-＝1. 整理得:9k2-8k-20＝0.解得k1＝2.k2＝-. 当k＝2时.原方程变为8x2+12x+5＝0.此时Δ＜0.方程无解.所以k＝2不合题意.舍去, 而k＝-时.虽有Δ＞0.但代入得sin A·sin B＝-＜0.这与A.B均为锐角即sin A·sin B＞0相矛盾.故k＝-也不合题意.舍去． 因此.不存在实数k.使方程8x2+6kx+2k+1＝0的两根是一个直角三角形的两个锐角的正弦值．

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