摘要：12．过点P(1,0)作曲线C:y＝x2(x∈的切线.切点为M1.设M1在x轴上的投影是点P1.又过点P1作曲线C的切线.切点为M2.设M2在x轴上的投影是点P2.-.依此下去.得到一系列点M1.M2-.Mn.-.设它们的横坐标a1.a2.-.an.-.构成数列为{an}． (1)求证:数列{an}是等比数列.并求其通项公式, (2)令bn＝.求数列{bn}的前n项和Sn. [解析] (1)证明:对y＝x2求导数.得y′＝2x.切点是Mn(an.a)的切线方程是y-a＝2an(x-an)． 当n＝1时.切线过点P(1,0).即0-a＝2a1(1-a1). 得a1＝2, 当n＞1时.切线过点Pn-1(an-1,0). 即0-a＝2an(an-1-an).得＝2 所以数列{an}是首项a1＝2.公比为2的等比数列． 所以数列{an}的通项公式为an＝2n.n∈N? (2)an＝2n.bn＝.数列{bn}的前n项和 Sn＝+++-. 同乘以.得Sn＝+++-+. 两式相减.得Sn＝+++-+- ＝-＝1--. 所以Sn＝2-.

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