Question

解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 过点P(1，0)作曲线C：y＝x2(x∈(0,＋∞))的切线，切点为Q1，设点Q1在x轴上的投影为P1(即过点Q1作x轴的垂线，垂足为P1)，又过点P1作曲线C的切线，切点为Q2，设点Q2在x轴上的投影为P2，…，依次下去，得到一系列点Q1，Q2，Q3，…，Qn，…，设点Qn的横坐标为an，n∈N*． (1) 求数列{an}的通项公式； (2) 比较an与的大小,并证明你的结论； (3) 设,数列{bn}的前n项和为Sn,求证：对任意的正整数n均有≤Sn＜2．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：依题意，，，…，的坐标分别为则，，，…，的坐标分别为 由于，由导数的几何意义知，直线(2分) 由于直线与曲线C相切点Qn+1，则 即而，则，即数列为等比数列(4分)， 因此(5分)
(2)	解：当，时，，当时，(7分) 证明：当，时，通过计算易得；(8分) 当，,由于,∴展开式中至少含有4项, ∴，即，∵，∴(10分)
(3)	解：由于,则,即,∴数列为递增数列，而为正整数，则，故(11分)． (12分)(13分) 综上知对正整数均有(14分)