已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的周期为π，图像的一个对称中心为，将函数f(x)图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，在将所得图像向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图像．

(1)求函数f(x)与g(x)的解析式；

(2)是否存在，使得f(x₀)，g(x₀)，f(x₀)g(x₀)按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x₀的个数；

若不存在，说明理由．

(3)求实数a与正整数n，使得F(x)＝f(x)＋ag(x)在(0，nπ)内恰有2013个零点．