Question

已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的周期为π，图像的一个对称中心为，将函数f(x)图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，在将所得图像向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图像．

(1)求函数f(x)与g(x)的解析式；

(2)是否存在，使得f(x₀)，g(x₀)，f(x₀)g(x₀)按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x₀的个数；

若不存在，说明理由．

(3)求实数a与正整数n，使得F(x)＝f(x)＋ag(x)在(0，nπ)内恰有2013个零点．

Answer 1

答案：
解析：

　　本小题主要考查同角三角函数的基本关系．三角恒等变换．三角函数的图像与性质．函数．函数的导数．函数的零点．不等式等基础知识，考查运算求解能力．抽象概括能力，考查函数与方程思想，数形结合思想，分类与整合思想．化归与转化思想，满分14分．

　　解：(Ⅰ)由函数f(x)＝sin(ωx＋Φ)的周期为_π，ω＞0，得ω＝2

　　又曲线y＝f(x)的一个对称中心为，

　　故，得，所以f(x)＝cos2x

　　将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y＝cosx的图象，再将y＝cosx的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)＝sinx

　　(Ⅱ)当时，，

　　所以sinx＞cos2x＞sinxcos2x

　　问题转化为方程2cos2x＝sinx＋sinxcos2x在内是否有解

　　设G(x)＝sinx＋sinxcos2x－2cos2x，

　　则

　　因为，所以，G(x)在内单调递增

　　又，

　　且函数G(x)的图象连续不断，故可知函数G(x)在内存在唯一零点x₀，

　　即存在唯一的满足题意

　　(Ⅲ)依题意，F(x)＝asinx＋cos2x，令F(x)＝asinx＋cos2x＝0

　　当sinx＝0，即x＝kπ(k∈Z)时，cos2x＝1，从而x＝kπ(k∈Z)不是方程F(x)＝0的解，所以方程F(x)＝0等价于关于_x的方程，

　　现研究时方程解的情况

　　令，

　　则问题转化为研究直线y＝a与曲线y＝h(x)在的交点情况

　　，令，得或

　　当x变化时，h(x)和变化情况如下表

　　当x＞0且x趋近于0时，h(x)趋向于－∞

　　当x＜π且x趋近于π时，h(x)趋向于－∞

　　当x＞π且x趋近于π时，h(x)趋向于＋∞

　　当x＜2π且x趋近于2π时，h(x)趋向于＋∞

　　故当a＞1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，π)内有无交点，在(π，2π)内有2个交点；

　　当a＜－1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，π)内有2个交点，在(π，2π)内无交点；

　　当－1＜a＜1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，π)内有2个交点，在(π，2π)内有2个交点

　　由函数h(x)的周期性，可知当a≠±1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，nπ)内总有偶数个交点，从而不存在正整数n，使得直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，nπ)内恰有2013个交点；当a＝±1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在内有3个交点，由周期性，2013＝3×671，所以n＝671×2＝1342

　　综上，当a＝±1，n＝1342时，函数F(x)＝f(x)＋ag(x)在(0，nπ)内恰有2013个零点