摘要：2．如图.设抛物线方程为x2＝2py(p>0).M为直线y＝-2p上任意一点.过M引抛物线的切线.切点分别为A.B. (1)求证:A.M.B三点的横坐标成等差数列, (2)已知当M点的坐标为(2.-2p)时.|AB|＝4.求此时抛物线的方程, 解答:(1)证明:由题意设A(x1.).B(x2.).x1<x2.M(x0.-2p)． 由x2＝2py得y＝.得y′＝.所以kMA＝.kMB＝. 因此直线MA的方程为y+2p＝(x-x0).直线MB的方程为y+2p＝(x-x0)． 所以+2p＝(x1-x0).① +2p(x2-x0)．② 由①.②得＝x1+x2-x0.因此x0＝.即2x0＝x1+x2. 所以A.M.B三点的横坐标成等差数列． 知.当x0＝2时.将其代入①.②并整理得:x-4x1-4p2＝0.x-4x2-4p2＝0. 所以x1.x2是方程x2-4x-4p2＝0的两根.因此x1+x2＝4.x1x2＝-4p2. 又kAB＝＝＝.所以kAB＝. 由弦长公式得|AB|＝＝ . 又|AB|＝4.所以p＝1或p＝2.因此所求抛物线方程为x2＝2y或x2＝4y.
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如图，设抛物线方程为x2=2py（p＞0），M为直线l：y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A、B．（1）设抛物线上一点P到直线l的距离为d，F为焦点，当d-|PF|=
| 3 | 2 |
（2）若M（2，-2），求线段AB的长；
（3）求M到直线AB的距离的最小值．
如图，设抛物线方程为x2=2py（p＞0），M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B．（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；
（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，|AB|=4
| 10 |
（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x2=2py（p＞0）上，其中，点C满足
| OC |
| OA |
| OB |
如图，设抛物线方程为x2=2py（p＞0），M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B．
，
为直线
上任意一点，过
．
三点的横坐标成等差数列；
时，
．求此时抛物线的方程。
直线
上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B。
时，
，求此时抛物线的方程；
上，其中，点C满足
（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.