Question

如图，设抛物线方程为x²=2py（p＞0），M为直线l：y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A、B．
（1）设抛物线上一点P到直线l的距离为d，F为焦点，当d-|PF|=

3

2

时，求抛物线方程；
（2）若M（2，-2），求线段AB的长；
（3）求M到直线AB的距离的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据d-|PF|=

3

2

，得y_P+2p-（y_P+

p

2

）=

3p

2

=

3

2

，由此可求抛物线方程；
（2）求出抛物线方程与过M点的直线为y=k（x-2）-2联立，利用直线与抛物线相切，可求得x_B-x_A=4

2

，x_B+x_A=4．根据A、B在抛物线上，可求y_B-y_A，从而可求线段AB的长；
（3）设M（m，-2p），过M点的直线与抛物线联立，利用直线与抛物线相切，可得x₁-x₂=p（k₁-k₂），y₁-y₂=

x 2 1 - x 2 2

2p

=

(x1-x2)(x1+x2)

2p

=

p2(k1-k2)(k1+k2)

2p

，从而可得直线AB的方程，利用点到直线的距离公式求得点M到AB的距离，利用基本不等式，即可求M到直线AB的距离的最小值．

解答：解：（1）由d-|PF|=

3

2

，得y_P+2p-（y_P+

p

2

）=

3p

2

=

3

2

，∴p=1，
∴抛物线方程为x²=2y．
（2）M（2，-2）在直线y=-2p上，∴-2=-2p，解得p=1，
∴抛物线方程为x²=2y，
设过M点的直线为y=k（x-2）-2，联立：

y=k(x-2)-2 x2=2y

，消去y，得

x2

2

=kx-2k-2
即x²-2kx+4（k+1）=0（*），
∵直线与抛物线相切，∴△=0，即4k²-16（k+1）=0
∴k²-4k-4=0，∴k=2±2

2

，此时，方程（*）有等根x=k，
∴x_B=2+2

2

，x_A=2-2

2

，
∴x_B-x_A=4

2

，x_B+x_A=4．
∵A、B在抛物线上，
∴y_B-y_A=

x 2 B - x 2 A

2

=

(xB+xA)(xB-xA)

2

=8

2

∴|AB|=

(xB-xA)2+(yB-yA)2

=

32+128

=4

10

．
（3）设M（m，-2p），过M点的直线为L：y=k（x-m）-2p，联立：

y=k(x-m)-2p x2=2py

，消去y，得

x2

2p

=kx-km-2p，
∴x²-2kpx+2p（km+2p）=0①，
∵直线与抛物线相切，∴△=0
∴4k²p²-8p（km+2p）=0，∴pk²-2mk-4p=0②，此时方程①有等根x=kp，
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁-x₂=p（k₁-k₂），y₁-y₂=

x 2 1 - x 2 2

2p

=

(x1-x2)(x1+x2)

2p

=

p2(k1-k2)(k1+k2)

2p

，
∴AB的斜率k′=

y1-y2

x1-x2

=

k1+k2

2

，
由②，根据韦达定理可得k1+k2=

2m

p

，∴k′=

m

p

，
∴直线AB的方程为y-y1=

m

p

(x-x1)，
∴y-

k 2 1 p2

2p

=

m

p

(x-k1p)
∴化简可得2py-

k

2 1

p2=2mx-2mk1p，
∴2mx-2py+p(p

k

2 1

-2mk1)=0，
由②pk²-2mk-4p=0，∴p

k

2 1

-2mk1=4p，
∴AB方程化为：2mx-2py+4p²=0，
∴点M到AB的距离d=

|2m•m-2p(-2p)+4p2|

4m2+4p2

=

|2m2+8p2|

4m2+4p2

=

(m2+p2)+3p2

m2+p2

=

m2+p2

+

3p2

m2+p2

≥2

3p2

=2

3

p，
当且仅当

m2+p2

=

3p2

m2+p2

，即m²+p²=3p²，
∴m=±

2

p时，上式等号成立，
∴M到直线AB的距离的最小值为2

3

p．

点评：本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查基本不等式的运用，综合性强．