摘要：9．过抛物线焦点F的直线交抛物线于P.Q两点.PQ的垂直平分线交抛物线的对称轴于R点.求证:|FR|＝|PQ|. 证明:证法一:如图设抛物线方程为y2＝2px.p＞0则直线PQ的方程为y＝k(x-).k≠0.设P.Q两点的坐标为(x1.y1).(x2.y2) 由得k2x2-p(k2+2)x+＝0. ∴Δ＝p2(k2+2)2-4k2＝4p2k2+4p2. 且x1+x2＝.x1x2＝.|PQ|＝|x1-x2|＝. 由＝.得＝k(-)＝k＝. ∴直线PQ垂直平分线的方程为y-＝-. 令y＝0.得x＝p+.∴|FR|＝-＝. 因此|FR|＝|PQ|. 证法二:设P.Q两点坐标为(.y1).(.y2).由直线PQ过F点可证y1y2＝-p2.|PQ|＝ ＝.直线PQ的斜率为＝. ∴直线PQ垂直平分线方程为y-＝-(x-). 令y＝0.得x＝p+.∴|FR|＝(p+)- ＝＝.则|FR|＝|PQ|. 证法三:如上图.PQ的中点为M.过P.Q.M分别作PP′.MM′.QQ′垂直于抛物线的准线x＝-.连结M′F.M′P.由抛物线的定义得 |MM′|＝(|PP′|+|QQ′|)＝(|PF|+|QF|)＝|PQ|＝|MP|.∴∠M′PM＝∠PM′M＝∠P′PM′. 又|PP′|＝|PF|.PM′为△PM′P′与△PM′F的公共边.∴△PM′P′≌△PM′F.则M′F⊥PQ. 又MR⊥PQ.∵M′F∥MR.又MM′∥FR.∴四边形FRMM′为平行四边形． ∴|FR|＝|MM′|＝|PQ|.

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