已知正项数列的前n项和满足：，

（1）求数列的通项和前n项和；

（2）求数列的前n项和；

（3）证明：不等式  对任意的，都成立．

【解析】第一问中，由于所以

两式作差，然后得到

从而得到结论

第二问中，利用裂项求和的思想得到结论。

第三问中，

又

结合放缩法得到。

解：（1）∵     ∴

      ∴

      ∴   ∴  ………2分

      又∵正项数列，∴           ∴ 

又n=1时，

∴   ∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列……………3分

∴                             …………………4分

∴                   …………………5分 

（2）       …………………6分

    ∴

                          …………………9分

（3）

      …………………12分

又

        ，

   ∴不等式  对任意的，都成立．

已知数列的前项的和为，是等比数列，且，。

⑴求数列和的通项公式；

⑵设，求数列的前项的和。

⑴   ，数列的前项的和为，求证：．

【解析】第一问利用数列

依题意有：当n=1时，；

当时，

第二问中，利用由得：，然后借助于错位相减法

第三问中

结合均值不等式放缩得到证明。

已知数列的前项和为，且 (N^*),其中．

(Ⅰ) 求的通项公式；

(Ⅱ) 设 (N^*).

①证明： ；

② 求证：.

【解析】本试题主要考查了数列的通项公式的求解和运用。运用关系式，表示通项公式，然后得到第一问，第二问中利用放缩法得到，②由于，

所以利用放缩法，从此得到结论。

解：(Ⅰ)当时，由得.  ……2分

若存在由得，

从而有，与矛盾，所以.

从而由得得.  ……6分

 (Ⅱ)①证明：

证法一：∵∴

∴ 

∴.…………10分

证法二：，下同证法一.           ……10分

证法三：（利用对偶式）设，，

则.又，也即，所以，也即，又因为，所以.即

                    ………10分

证法四：（数学归纳法）①当时, ,命题成立;

   ②假设时,命题成立,即,

   则当时,

    即

即

故当时，命题成立.

综上可知，对一切非零自然数，不等式②成立.           ………………10分

②由于，

所以，

从而.

也即