摘要：13．已知函数f(x)＝ax2+4x+b(a<0.a.b∈R).设关于x的方程f(x)＝0的两实根为x1.x2.方程f(x)＝x的两实根为α.β. (1)若|α-β|＝1.求a.b的关系式, (2)若α<1<β<2.求证(x1+1)(x2+1)<7. (1)解:由f(x)＝x得ax2+3x+b＝0(a<0.a.b∈R)有两个不等实根为α.β. ∴Δ＝9-4ab>0.α+β＝-.α·β＝ 由|α-β|＝1得(α-β)2＝1. 即(α+β)2-4αβ＝-＝1. ∴9-4ab＝a2.即a2+4ab＝9(a<0.a.b∈R) (2)证明:∵α+β＝-.α·β＝.x1+x2＝-. x1·x2＝. ∴x1+x2＝(α+β).x1·x2＝αβ 则(x1+1)(x2+1)＝x1x2+x1+x2+1＝αβ+(α+β)+1 又由α<1<β<2 ∴α+β<3∴αβ<2.∴(α+β)<4. ∴αβ+(α+β)+1<7.综上所述.(x1+1)(x2+1)<7.

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